待定係數法

微分方程
模擬有阻礙下空氣流動的纳维-斯托克斯方程
范围
領域 自然科学 工程学 天文學 物理学 化學 生物学 地质学 应用数学 连续介质力学 混沌理论 动力系统 社会科学 经济学 人口動力學（英语：Population dynamics）
分類
種類 常微分 偏微分 微分代數（英语：Differential-algebraic system of equations） 積分-微分（英语：Integro-differential equation） 分数 线性 非線性 依變數種類 自变量和因变量 自治 耦合 / 解耦合 全微分 齊次（英语：Homogeneous differential equation） / 非齊次 特徵 階數 微分算子 表示法
和過程的關係 差分 (離散下的類比) 隨機 随机偏微分 时滞
解
存在和唯一 柯西-利普希茨定理 皮亚诺存在性定理 Carathéodory存在性定理（英语：Carathéodory's existence theorem） Cauchy–Kowalevski定理（英语：Cauchy–Kowalevski theorem）
通用主題 朗斯基行列式 相圖 相空間 李雅普诺夫 / 漸進 / 指數穩定 收斂速度 級數 / 積分解 數值積分 狄拉克δ函数
解法 特征线 欧拉 指數響應公式（英语：Exponential response formula） 有限差分 (克兰克－尼科尔森) 有限单元 無限單元 有限體積 伽辽金 Petrov–Galerkin（英语：Petrov–Galerkin method） 积分因子 积分变换 摄动 龙格－库塔 分離變數 待定係數 參數變換
人物
列表 艾萨克·牛顿 戈特弗里德·莱布尼茨 萊昂哈德·歐拉 埃米尔·皮卡 Józef Maria Hoene-Wroński（英语：Józef Maria Hoene-Wroński） Ernst Lindelöf（英语：Ernst Lindelöf） 鲁道夫·利普希茨 奧古斯丁-路易·柯西 約翰·克蘭克 菲利斯·尼科爾森 卡爾·龍格 馬丁·威廉·庫塔
查 论 编

待定系数法是求某些非齐次常微分方程和递推关系的特解的方法。它与微分算子方法密切相关，但不是使用特定类型的微分算子（annihilator）来找到特定解决方案的最佳可能形式，而是对适当的形式进行擬設或猜测，然后通过对所得方程进行微分来对其进行测试。对于复杂的方程式，零化器方法或参数变化的执行耗时较少。

待定系数不像參數變換法那样普遍，因为它仅适用于遵循特定形式的微分方程。

考虑以下形式的线性非齐次常微分方程

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)}$

此處${\displaystyle y^{(i)}}$表示${\displaystyle y}$的第i个导数，${\displaystyle c_{i}}$表示${\displaystyle x}$的一個函數

待定系数法提供了一种在满足两个条件时获得此ODE解的直接方法：^[1]

1. ${\displaystyle c_{i}}$是常量
2. g(x)是常数，多项式函数，指数函数${\displaystyle e^{\alpha x}}$,正弦或余弦函数${\displaystyle \sin {\beta x}}$或${\displaystyle \cos {\beta x}}$（${\displaystyle {\alpha }}$，${\displaystyle {\beta }}$是常數）

该方法包括寻找一般齐次解是${\displaystyle y_{c}}$为互补线性齐次微分方程

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,}$

和一个特定的积分是p基于线性非齐次常微分方程的${\displaystyle y_{p}}$。那么一般的解决方法是y到线性非齐次常微分方程将是：

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$^[2]

如果${\displaystyle g(x)}$由两个函数${\displaystyle h(x)+w(x)}$组成的和，我们说${\displaystyle y_{p_{1}}}$是基於${\displaystyle h(x)}$的解，${\displaystyle y_{p_{2}}}$是基於${\displaystyle w(x)}$的解。然后使用叠加原理，我们可以得到特定的积分${\displaystyle y_{p}}$是^[2]

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}$