微积分学教程

《微积分学教程》（俄語：Курс дифференциального и интегрального исчисления），是苏联数学家菲赫金哥尔茨^[1]为数学分析课程撰写的一本教程。书中所包含的主要理论是20世纪初最后形成的现代数学分析的经典部分，其内容是在大学的第一、二年级讲授。

全书共分为三卷，第一卷包括实数理论、实变数一元与多元微分学及其应用；第二卷研究黎曼积分理论与级数理论；第三卷研究多重积分、曲线积分、曲面积分、斯蒂尔切斯积分、傅里叶级数与傅里叶变换。此教程篇幅巨大、内容丰富并含有大量例题及应用实例，定理证明详尽细致、处理方法经典，理论内容论述深刻。种种原因使得全书被译为多种文字，并在中、东欧国家及中国大陆广为流传。目前最新中译版是高等教育出版社第八版。

作者

《微积分学教程》的作者菲赫金哥尔茨是苏联数学家及数学教育家，是实变函数论列宁格勒学派的奠基人。他致力于研究实变函数论及泛函分析，在函数度量理论的一系列工作使其成为这个领域中的一流数学家。

菲赫金哥尔茨讲学30余年的数学分析课程，苏联数学家伊西多尔·保罗维奇·那汤松、謝爾蓋·里沃維奇·索伯列夫、Dmitry Konstantinovich Faddeev，力学家Sergey Khristianovich，以及诺贝尔经济学奖得主坎托罗维奇都是他的学生。此外，他还是苏联第一届数学奥林匹克的发起人、20世纪30年代苏联中学数学教学大纲的制定者。

绪论　实数
- §1　有理数域
- §2　无理数的导入．实数域的序
- §3　实数的算术运算
- §4　实数的其他性质及应用
第一章　极限论
- §1　整序变量及其极限
- §2　极限的定理．若干容易求得的极限
- §3　单调整序变量
- §4　收敛原理．部分极限
第二章　一元函数
- §1　函数概念
- §2　函数的极限
- §3　无穷小及无穷大的分阶
- §4　函数的连续性及间断
- §5　连续函数的性质
第三章　导数及微分
- §1　导数及其求法
- §2　微分
- §3　微分学的基本定理
- §4　高阶导数及高阶微分
- §5　泰勒公式
- §6　插值法
第四章　利用导数研究函数
- §1　函数动态的研究
- §2　凸（与凹）函数
- §3　函数的作图
- §4　不定式的定值法
- §5　方程的近似解
第五章　多元函数
- §1　基本概念
- §2　连续函数
- §3　多元函数的导数及微分
- §4　高阶导数及高阶微分
- §5　极值．最大值及最小值
第六章　函数行列式及其应用
- §1　函数行列式的性质
- §2　隐函数
- §3　隐函数理论的一些应用
- §4　换元法
第七章　微分学在几何上的应用
- §1　曲线及曲面的解析表示法
- §2　切线及切面
- §3　曲线的相切
- §4　平面曲线的长
- §5　平面曲线的曲率
附录　函数扩充的问题

第二卷

第八章　原函数（不定积分）
- §1　不定积分与它的计算的最简单方法
- §2　有理式的积分
- §3　某些含有根式的函数的积分
- §4　含有三角函数与指数函数的表达式的积分
- §5　椭圆积分
第九章　定积分
- §1　定积分的定义与存在条件
- §2　定积分的一些性质
- §3　定积分的计算与变换
- §4　定积分的一些应用
- §5　积分的近似计算
第十章　积分学在几何学、力学与物理学中的应用
- §1　弧长
- §2　面积与体积
- §3　力学与物理学的数量的计算
- §4　最简单的微分方程
第十一章　常数项无穷级数
- §1　引言
- §2　正项级数的收敛性
- §3　任意项级数的收敛性
- §4　收敛级数的性质
- §5　累级数与二重级数
- §6　无穷乘积
- §7　初等函数的展开
- §8　藉助于级数作近似计算
- §9　发散级数的求和法
第十二章　函数序列与函数级数
- §1　一致收敛性
- §2　级数和的函数性质
- §3　应用
- §4　关于幂级数的补充知识
- §5　复变量的初等函数
- §6　包络级数与渐近级数．欧拉－麦克劳林公式
第十三章　反常积分
- §1　积分限为无穷的反常积分
- §2　无界函数的反常积分
- §3　反常积分的性质与变形
- §4　反常积分的特别计算法
- §5　反常积分的近似计算
第十四章　依赖于参数的积分
- §1　基本理论
- §2　积分的一致收敛性
- §3　积分一致收敛性的应用
- §4　补充
- §5　欧拉积分

第三卷

第十五章　曲线积分、斯蒂尔切斯积分
- §1　第一型曲线积分
- §2　第二型曲线积分
- §3　曲线积分与道路无关的条件
- §4　有界变差函数
- §5　斯蒂尔切斯积分
第十六章　二重积分
- §1　二重积分的定义及简单性质
- §2　二重积分的计算
- §3　格林公式
- §4　二重积分中的变量变换
- §5　反常二重积分
第十七章　曲面面积、曲面积分
- §1　双侧曲面
- §2　曲面面积
- §3　第一型曲面积分
- §4　第二型曲面积分
第十八章　三重积分及多重积分
- §1　三重积分及其计算
- §2　高斯－奥斯特洛格拉得斯基公式
- §3　三重积分中的变量变换
- §4　场论初步
- §5　多重积分
第十九章　傅里叶级数
- §1　导言
- §2　函数的傅里叶展开式
- §3　补充
- §4　傅里叶级数的收敛特性
- §5　与函数可微分性相关的余项估值
- §6　傅里叶积分
- §7　应用
第二十章　傅里叶级数（续）
- §1　傅里叶级数的运算．完全性与封闭性
- §2　广义求和法在傅里叶级数上应用
- §3　函数的三角展开式的唯一性
附录　极限的一般观点