微分方程 中的奇异吸子 ，微分方程是泛數學分析（指数学分析及其紧密相关的后续学科的简称）中的重要領域，在科學及工程中有許多的應用数学分析学 ，也稱分析数学 、分析学 或解析学 （英語：Mathematical Analysis ），是普遍存在於大学 数学专业的一门基础课程。大致与非數學专业学生所學的高等数学 課程内容相近，但內容更加深入，一般指以微积分学 、无穷级数 和解析函數 等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础[ 註 1] [ 1]
数学分析研究的內容包括實數 、複數 、實函數 及複變函數 。数学分析是由微積分演進而來，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間 有定義鄰域 （拓扑空间 ）或是有針對兩物件距離的定義（度量空间 ），就可以用数学分析的方式進行分析。
亞里士多德 用穷竭法 計算圓的面積，方法是以邊數越來越多的內接 或外切 正多邊形 逼近。這是一個非正式的極限 的例子，而極限也是數學分析的基本概念在古希腊数学 的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺 的两分法悖论 就隐含了无限几何和。[ 2] 古希腊数学家 如欧多克索斯 和阿基米德 使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷竭法 去计算区域和固体的面积和体积时，使用了極限 和收敛 的概念。[ 3] 古印度数学 婆什迦羅第二 给出了导数 的例子，还使用过现在所知的罗尔定理 。
历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿 和莱布尼兹 发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分法 ，常微分方程 和偏微分方程 ，傅立叶分析 以及母函数 基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续 的方法近似了离散 的问题。
贯穿18世纪，函数 概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西 通过引入柯西序列 的概念将微积分建立在稳固的逻辑基础之上。他还开始了複分析 的形式理论。泊松 、刘维尔 、傅里叶 以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析 。
19世纪中叶，黎曼 引入了他的积分 理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯 对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并提出了极限的 (ε, δ) 定义 连续统 的存在。戴德金 用戴德金分割 构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分 精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合 的“大小”的研究。
在19世紀末時，也發現了許多病態函數 ，像是處處不連續函數 、處處連續但處處不可微分的魏爾斯特拉斯函數 以及空間填充曲線 等。卡米爾·若爾當 發展了若爾當測度 ，而格奧爾格·康托爾 提出了現在稱為樸素集合論 的理論，勒內-路易·貝爾 證明了貝爾綱定理 。在20世紀初期，利用公理化 的集合論 將微積分進行形式化，昂利·勒貝格 解決了量測問題，大卫·希尔伯特 導入了希尔伯特空间 來求解積分方程 。賦範向量空間 的概念已經提出，1920年代時斯特凡·巴拿赫 創建了泛函分析 。
數學中的度量空間是一個集合 ，而集合中兩個元素的距離 （叫做度量）有清楚的定義。
大部份的數學分析都是針對特定的度量空間，最常見的是數線 、複數平面 、欧几里得空间 、其他向量空間 及整數 。數學中沒有度量的分包括有量測理論 （描述大小而不是距離）及泛函分析 （研究不需要距離概念的拓撲向量空間 ）
度量空間是一個有序對
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,d)}
M
{\displaystyle M}
d
{\displaystyle d}
M
{\displaystyle M}
度量 （也是函數）
d
:
M
×
M
→
R
{\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }
使得針對任何的
x
,
y
,
z
∈
M
{\displaystyle x,y,z\in M}
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle d(x,y)\geq 0}
d
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle d(x,y)=0\,}
若且唯若
x
=
y
{\displaystyle x=y\,}
不可分者同一 ）
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}
d
(
x
,
z
)
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}
三角不等式 ）
數列是一個有序的列表，數列像集合 一樣都是由元素組成，但和集合不同，數列有順序的概念，而完全相同的元素可以在數列中出現一至多次。更準確的說法，數列可以用定義域 為全序關係 可數集 （例如自然數 ）的函數 來定義。
數列最重要的性質是收斂 ，若簡單的做非正式的定義，一數列若存在極限，表示此數列收斂。若繼續下非正式的定義，一個無窮數列a n x ，則稱此數列有極限，而其極限為x ，因此極限也可以視為是數列趨向的數值[ 4] a n n → ∞時，a n x 之間的距離會趨近於0：
lim
n
→
∞
a
n
=
x
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.}
数学分析在当前被分为以下几个分支领域：
数学分析的技巧可以用在其他以下的領域：
經典力學 、相對論 及量子力學 中大部份的內容都是以数学分析及微分方程 為基礎。其中重要的微分方程 包括牛頓第二運動定律 、薛定谔方程 及愛因斯坦場方程 。
泛函分析 是量子力學中的一個重要主題。
信號處理 可以用在許多不同信號的處理上，不論是聲音 、無線電波 、光波、地震波 其至影像 ，傅立葉分析 可以取出信號中特定的成份，可以進一步將信號加強或是移除。大部份的信號處理技術都包括了將信號進行傅立葉轉換、轉換後信號進行簡單的處理，再進行反轉換[ 14]
数学分析的技巧可以用在以下的數學領域中：
《微积分学教程》(共三卷) 格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨 著
《数学分析原理》(共两卷) 格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
《数学分析讲义》阿黑波夫著
《数学分析简明教程》辛钦 著
《数学分析》（共两卷）卓里奇 著
《微积分和数学分析引论》理查·科朗特 著 (参见 台大 部分老师的评论 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）)
《数学分析》湯姆·麥克·阿波斯托 著
《数学分析原理》Walter Rudin （卢丁）著 (参见 台大 部分老师的评论 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）)
《陶哲轩实分析》陶哲轩 著
《微积分入门》小平邦彦 著
《高等数学引论》（共四卷）华罗庚 著，高等教育出版社
《数学分析》（共两册）华东师范大学数学系
《数学分析》（共两册）欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋著
《数学分析》（共两册）陈纪修，於崇华，金路著
《数学分析新讲》（共三册）张筑生 编著
《数学分析讲义》（共三册）刘玉琏，傅沛仁著
《数学分析》（共三册）周民强，方企勤著
《数学分析讲义》 （共三册）陈天权 编著
《简明数学分析（第二版）》郇中丹、刘永平、王昆扬著
《数学分析教程（第3版）》（共两册）常庚哲、史济怀编著
《数学分析》（共三册）徐森林、薛春华编著
《数学分析》梅加强编著
《数学分析》（共两册）欧阳光中、姚允龙、周渊编著 (复旦大学出版社 官网的信息: 上册 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）, 下册 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）)
《数学分析教程》（共两册）李忠 方丽萍编著
《古今数学思想》1-4册，莫里斯·克莱因 著，上海科学技术出版社
《吉米多维奇数学分析习题集》鲍里斯·帕夫罗维奇·吉米多维奇 著
《数学分析中的问题和定理》乔治·波利亚 ，G.Szego（舍贵）著
《数学分析八讲》辛钦著
《微积分五讲》龚升著
《重温微积分》齐民友 著
《数学分析习题课讲义》（上下两册）谢惠民等著
《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文著
《数学分析问题研究与评注》汪林等著
《数学分析拾遗》赵显增著
《数学分析习题演练》周民强著
^ 《数学辞海（第一卷）》
^ Stillwell 无穷级数在古希腊数学中出现过，……例如，毫无疑问的，芝诺的两分法悖论考虑了将1分解为无穷级数：1 ⁄2 + 1 ⁄2 2 + 1 ⁄2 3 + 1 ⁄2 4 + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + 1 ⁄4 + 1 ⁄4 2 + 1 ⁄4 3 + ... = 4 ⁄3 。这些例子是几何级数 求和的一些特例。 ^ （Smith, 1958）
^ Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.Courant, p. 29.
^ Rudin, Walter . Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics 3rd. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8 ^ Abbott, Stephen. Understanding Analysis . Undergradutate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2001. ISBN 0-387-95060-5 ^ Rudin, W. : Functional Analysis , McGraw-Hill Science, 1991^ Conway, J. B. : A Course in Functional Analysis , 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-97245-9 ^ E. L. Ince, Ordinary Differential Equations , Dover Publications, 1958, ISBN 978-0-486-60349-0
^ Witold Hurewicz , Lectures on Ordinary Differential Equations , Dover Publications, ISBN 978-0-486-49510-1 ^ Evans, L. C. , Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 ^ Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis 2nd edition. McGraw-Hill. 1974. ISBN 0-07-028761-9 ^ THE MASLOV DEQUANTIZATION, IDEMPOTENT AND TROPICAL MATHEMATICS: A BRIEF INTRODUCTION . [2014-09-01 ] . （原始内容存档 于2017-11-22）. ^ Theory and application of digital signal processing
Rabiner, L. R.; Gold, B.
Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, Inc., 1975.
书籍 《数学辞海（第一卷）》，山西教育出版社，中国科学技术出版社，东南大学出版社
Smith, David E. 1958. History of Mathematics . Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7 .
Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History . 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 978-0-387-95336-6 .
