扭稜四角反角柱 （英文 ：Snub square antiprism）是詹森多面體 的其中一個，其所引為J85 [ 1] 柏拉圖立體 （正多面體 ）和阿基米得立體 （半正多面體 ）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體 ，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森 [ 2]
扭稜四角反角柱共由26個面 、40條邊 和16頂點 所組成[ 3] [ 4] [ 5] [ 3] [ 5] 頂點圖 中可以用[35 ]來表示[ 6] [ 5] 4 ,4]來表示[ 6]
形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱 套用扭稜 變換來構造。在施萊夫利符號 中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱 [ 7] 考克斯特扭稜 ；而在康威扭稜 中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜 來構造，在康威多面體表示法 中可以表示為sY4[ 8]
若一個扭稜四角反角柱邊長為
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
[ 9]
A
=
(
2
+
6
3
)
a
2
≈
12.39230
a
2
,
{\displaystyle A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},}
[ 10] 而其體積
V
{\displaystyle V}
V
=
ξ
a
3
,
{\displaystyle V=\xi a^{3},}
其中
ξ
≈
3.60122
{\displaystyle \xi \approx 3.60122}
531441
x
12
−
85726026
x
8
−
48347280
x
6
+
11588832
x
4
+
4759488
x
2
−
892448.
{\displaystyle 531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.}
[ 11]
令
k
{\displaystyle k}
三次式 的正實根，約為
k
≈
0.82354
{\displaystyle k\approx 0.82354}
9
x
3
+
3
3
(
5
−
2
)
x
2
−
3
(
5
−
2
2
)
x
−
17
3
+
7
6
.
{\displaystyle 9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.}
和h約為
h
≈
1.35374
{\displaystyle h\approx 1.35374}
h
=
2
+
8
+
2
3
k
−
3
(
2
+
2
)
k
2
4
3
−
3
k
2
.
{\displaystyle h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.}
則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道 的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群 之群作用 下給出：[ 12]
(
1
,
1
,
h
)
,
(
1
+
3
k
,
0
,
h
−
3
−
3
k
2
)
{\displaystyle (1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)}
類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱 （可以視為一個對稱性較低的正八面體 ），其結果為偽二十面體 （可以視為一個對稱性較低的正二十面體 ）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,4}）對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體 ，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。[ 7]
扭稜反角柱
對稱性
D2d , [2+ ,4], (2*2)
D3d , [2+ ,6], (2*3)
D4d , [2+ ,8], (2*4)
D5d , [2+ ,10], (2*5)
反角柱
s{2,4} s{2,6} A3 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）s{2,8} A4 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）s{2,10} A5 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
截角反角柱
ts{2,6} tA3 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）ts{2,8} tA4 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）ts{2,10} tA5 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
對稱性
D2 , [2,2]+ , (222)
D3 , [3,2]+ , (322)
D4 , [4,2]+ , (422)
D5 , [5,2]+ , (522)
扭稜反角柱
J84
二十面體
J85
凹
sY3 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） = HtA3
sY4 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） = HtA4
sY5 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） = HtA5
ss{2,4} ss{2,6} ss{2,10}
^ Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics 18 : 169–200, MR 0185507 Zbl 0132.14603 doi:10.4153/cjm-1966-021-8 ^ 3.0 3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism . [2022-09-07 ] . （原始内容存档 于2022-09-09）. ^ The snub square antiprism . qfbox.info. [2022-09-09 ] . （原始内容存档 于2022-09-09）. ^ 5.0 5.1 5.2 Snub square antiprism . polyhedra.tessera.li. [2022-09-09 ] . （原始内容存档 于2022-09-09）. ^ 6.0 6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap . bendwavy.org. [2022-09-09 ] . （原始内容存档 于2022-01-25）. ^ 7.0 7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms . orchidpalms.com. [2019-09-28 ] . （原始内容存档 于2019-03-27）. ^ PolyHédronisme . [2022-09-09 ] . （原始内容存档 于2022-03-10）. ^ Wolfram, Stephen . " Snub square antiprism" Wolfram Alpha : Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语） . ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"] ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x] ^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341 doi:10.1007/s10958-009-9655-0
