拟凸函数

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拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数${\displaystyle a}$，${\displaystyle (-\infty ,a)}$的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。

凸函数一定是拟凸函数，但反之则不然，因此拟凸函数是一个更广泛的概念。凹函数的情况也类似。

设函数${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$定义在实向量空间的凸子集${\displaystyle S}$上。我们称${\displaystyle f}$是拟凸的，如果对任意的${\displaystyle x,y\in S}$和${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$都有

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$。

另一种等价的定义则是任何的${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$都是凸集。

如果有${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$，则称${\displaystyle f}$是严格拟凸的。

类似地，可以定义拟凹函数和严格拟凹函数。我们称${\displaystyle f}$是拟凹的，如果对任意的${\displaystyle x,y\in S}$和${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$都有

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$。

如果有${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$，则称${\displaystyle f}$是严格拟凹的。

如果一个函数既是拟凸的又是拟凹的，则称其为拟线性的。

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