凹函数

此條目介紹的是英文为Concave function的函数。关于英文为Convex function的函数，请见「凸函数」。

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查 论 编

凹函数（英語：Concave function）是指下境圖（英语：Hypograph (mathematics)）^{[註 1]}为凸集的一类函数。

如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).}$

则我们称f在某區間（或者某個向量空間中的凸集）上是凹的

某函數f:R→R，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z, f(z) )是在以點(x, f(x) )和(y, f(y) )連成的直線之上。

如果一個可微函數${\displaystyle f}$它的導數${\displaystyle f'}$在某區間是單調遞減的，${\displaystyle f}$就是凹的：一個凹函數的斜率單調遞減（當中遞減只是代表非遞增而不是嚴格遞減，也代表這容許零斜率的存在。）

如果一個二次可微的函數${\displaystyle f}$，它的二階導數${\displaystyle f''(x)}$是正值，那麼它的圖像是凸的；如果二階導數${\displaystyle f''(x)}$是負值，圖像就會是凹的。

如果凸函數（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的極小值。如果凹函數有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函數的極大值。

如果${\displaystyle f(x)}$是二次可微的，那麼${\displaystyle f(x)}$就是凹的若且唯若${\displaystyle f''(x)}$是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴格凹函數，但相反而言又不一定正確，例如當${\displaystyle f(x)=-x^{4}}$。 如果${\displaystyle f}$是凹的也是可微的，那麼

${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$

一個在${\displaystyle \mathbb {C} }$的連續函數是凹的若且唯若对于任意属于${\displaystyle \mathbb {C} }$的x和y，有

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$

• 函數${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ 和 ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$都是凹函數因為它們的二階導數永遠都是一個負值。
• 任何線性函數${\displaystyle f(x)=ax+b}$既是凸函數也是凹函數。
• 函數${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$在區間${\displaystyle [0,\pi ]}$是凹的。
• 函數${\displaystyle \log |B|}$是一個凹函數，當中${\displaystyle |B|}$是一個非负定矩陣的行列式。

• 凸函数