施图姆定理

施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的。

施图姆定理与代数基本定理的一个区别是，代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把重根也计算在内，而施图姆定理则只涉及实根，且不把重根计算在内。

我们首先从以下不含重根的多项式构造一个施图姆序列：

${\displaystyle X=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.}$

标准施图姆序列是把多项式长除法应用于${\displaystyle X}$和它的导数${\displaystyle X_{1}=X'}$时，所得到的中间结果的序列。

标准施图姆序列由以下公式计算：

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{2}&=&-{\rm {rem}}(X,X_{1})\\X_{3}&=&-{\rm {rem}}(X_{1},X_{2})\\&\vdots &\\0&=&-{\rm {rem}}(X_{r-1},X_{r}),\end{matrix}}}$

也就是说，序列中每一项都是前两项相除所得的余数，并将其变号。由于当${\displaystyle 1\leq i<r}$时，${\displaystyle \operatorname {deg} X_{i+1}\leq \operatorname {deg} X_{i}-1}$，因此这个序列最终要停止。最后一个多项式，${\displaystyle X_{r}}$，就是${\displaystyle X}$和它的导数的最大公因式。由于${\displaystyle X}$没有重根，因此${\displaystyle X_{r}}$是一个常数。于是，标准施图姆序列为：

${\displaystyle X,X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}.\,}$

设${\displaystyle V_{\xi }}$为以下序列中符号变化的次数（零不计算在内）：

${\displaystyle X(\xi ),X_{1}(\xi ),X_{2}(\xi ),\ldots ,X_{r}(\xi ),\,\!}$

其中${\displaystyle X}$是不含重根的多项式。于是，施图姆定理说明，对于两个实数${\displaystyle a,b}$，开区间${\displaystyle (a,b)}$中的不同根的个数为${\displaystyle V_{a}-V_{b}}$。

通过恰当选择${\displaystyle a,b}$，这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如，柯西发现的一个定理说明，系数为${\displaystyle a_{i}}$的多项式的所有实根都在区间${\displaystyle [-M,M]}$内，其中：

${\displaystyle M=1+{\frac {\max _{i=0}^{n-1}|a_{i}|}{|a_{n}|}}.\,\!}$

除此以外，我们还可以利用下列事实：对于很大的正数${\displaystyle x}$，以下多项式的符号

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots \,\!}$

是${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})}$，而${\displaystyle \operatorname {sgn}(P(-x))}$则是${\displaystyle \operatorname {sgn}((-1)^{n}a_{n})}$。

用这种方法，仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化，就可以得出多项式的不同实根的个数。

通过施图姆定理的帮助，我们还可以决定某个给定根（例如${\displaystyle \xi }$）是几重根。确实，假设我们知道${\displaystyle \xi }$在${\displaystyle (a,b)}$内，且${\displaystyle V_{a}-V_{b}=1}$。那么，${\displaystyle \xi }$是${\displaystyle m}$重根正好当${\displaystyle \xi }$是${\displaystyle X_{r}}$的${\displaystyle m-1}$重根时（这是因为它是${\displaystyle X}$和它的导数的最大公因式）。

${\displaystyle [a,b]}$ 上的施图姆序列，是实系数多项式 ${\displaystyle X}$ 的一个有限序列${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{r}}$，使得：

1. ${\displaystyle X_{r}}$在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上没有根
2. ${\displaystyle X_{0}(a)X_{0}(b)\neq 0}$
3. 如果对于${\displaystyle \xi \in [a,b],1\leq i\leq r-1,X_{i}(\xi )=0}$，那么${\displaystyle X_{i-1}(\xi )X_{i+1}(\xi )<0}$
4. 若对于${\displaystyle \xi \in [a,b],X(\xi )=0}$ ,则存在${\displaystyle \delta >0}$,使得 ${\displaystyle c\in (\xi -\delta ,\xi )}$时，${\displaystyle X_{0}(c)X_{1}(c)<0}$ 而 ${\displaystyle c\in (\xi ,\xi +\delta )}$ 时 ${\displaystyle X_{0}(c)X_{1}(c)>0}$

我们可以验证每一个标准施图姆序列确实是如上定义的施图姆序列。

• 劳斯–赫尔维茨稳定性判据
• 笛卡儿符号法则

• D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

• 施图姆定理的C代码