林德勒夫猜想

林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一個由芬蘭數學家恩斯特·雷納德·林德勒夫（英语：Ernst Leonard Lindelöf）提出一個關於黎曼ζ函數在臨界線上增長率的猜想。^[1]這猜想可由黎曼猜想導出，其形式以大O符號表述如下：

對於任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$而言，在${\displaystyle t}$趨近於無窮時，有${\displaystyle \zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=O(t^{\varepsilon })}$

由於${\displaystyle \varepsilon }$可由一個較小的值取代之故，因此這猜想可重述如下：

對於任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$而言，有${\displaystyle \zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=o(t^{\varepsilon })}$

設${\displaystyle \sigma }$是一個實數，則可定義${\displaystyle \mu (\sigma )}$為所有使得${\displaystyle \zeta (\sigma +iT)=O(T^{a})}$的實數${\displaystyle a}$當中的最小數。在這種定義下，易見對於任意的${\displaystyle \sigma >1}$，有${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$，而從黎曼ζ函數的函數方程可導出說${\displaystyle \mu (\sigma )=\mu (1-\sigma )-\sigma +{\frac {1}{2}}}$。另一方面，由夫拉門–林德勒夫定理（英语：Phragmén–Lindelöf theorem）可導出說${\displaystyle \mu }$是一個凸函數。林德勒夫猜想基本就是說，${\displaystyle \mu ({\frac {1}{2}})=0}$，將此點和上述的性質結合，這猜想也意味著說在${\displaystyle \sigma \geq {\frac {1}{2}}}$時，${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$；而在${\displaystyle \sigma \leq {\frac {1}{2}}}$時，${\displaystyle \mu (\sigma )={\frac {1}{2}}-\sigma }$

由於${\displaystyle \mu (1)=0}$且${\displaystyle \mu (0)={\frac {1}{2}}}$，因此從林德勒夫對這函數的凸性可導出說${\displaystyle 0\leq \mu ({\frac {1}{2}})={\frac {1}{4}}}$。之後G·H·哈代藉由將外爾估計指數和（英语：Exponential sum）的方式用於近似函數方程的做法，將這上界降至${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$。在那之後數名研究者用長且技術性的數學證明，將之降到稍微低於${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$的數值。下表顯示了對於這數值的改進：

Backlund^[19]在1918至1919年間，證明了說林德勒夫猜想和下述與黎曼ζ函數的零點相關的敘述等價：在${\displaystyle T}$趨近於無窮時，實部至少為${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\varepsilon }$且虛部介於${\displaystyle T}$和${\displaystyle T+1}$之間的零點，其數量會趨近於${\displaystyle o(\log {T})}$。

由於黎曼猜想指稱在這區域中沒有任何零點之故，因此黎曼猜想會導出林德勒夫猜想。目前已知虛部介於${\displaystyle T}$和${\displaystyle T+1}$之間的零點的數量為${\displaystyle O(\log {T})}$，因此林德勒夫猜想似乎只稍強於已知的結果，但盡管如此，人們迄今依舊無法證明林德勒夫猜想。

林德勒夫猜想與以下陳述等價：

對於任意的正整數${\displaystyle k}$和正實數${\displaystyle \varepsilon }$而言，有以下等式：

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{\varepsilon })}$

目前已證明這等式對${\displaystyle k=1}$及${\displaystyle k=2}$成立，但${\displaystyle k=3}$的情況似乎困難許多，且依舊是個未解決的問題。

對於這積分的非病態行為，有著下列更加精確的猜想：

一般認為，對某些常數${\displaystyle c_{k,j}}$而言，有以下等式：

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}$

李特爾伍德證明了${\displaystyle k=1}$的情況，而希斯-布朗^[20]藉由推廣英厄姆（Ingham）找到首項係數的結果^[21]，證明了${\displaystyle k=2}$的情況。

Conrey和Ghosh^[22]推測，在${\displaystyle k=6}$時首項係數應當為

${\displaystyle {\frac {42}{9!}}\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)}$

而Keating和Snaith^[23]利用隨機矩陣理論，對${\displaystyle k}$更大的情況的係數的值做出了一些猜測。目前猜想這積分的首項係數的值是某個初等因子、質數的某種乘積，和由下列數列給出的${\displaystyle n\times n}$楊表的數字彼此間的乘積：

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ... （OEIS數列A039622）

設${\displaystyle p_{n}}$為第${\displaystyle n}$個質數，並設${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$為質數間隙，則一個由阿爾伯特·英厄姆（英语：Albert Ingham）證明的結果顯示，若林德勒夫猜想成立，則對於任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$而言，當${\displaystyle n}$足夠大（英语：Eventually (mathematics)）時，有以下不等式：

${\displaystyle g_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }}$

對於質數間隙，一個比英厄姆的結果更強的猜想是克拉梅爾猜想，其陳述如下：^[24][25]

${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right).}$

密度假說指稱${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{2(1-\sigma )+\varepsilon }}$，其中${\displaystyle N(\sigma ,T)}$是${\displaystyle \zeta (s)}$的零點${\displaystyle \rho }$在${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)\geq \sigma }$以及${\displaystyle |{\mathfrak {I}}(s)|\leq T}$所構成的範圍內的數量，且這假說可由林德勒夫猜想得出。^[27][28]

更一般地，設${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{A(\sigma )(1-\sigma )+\varepsilon }}$，則已知這界限大致和長度為${\displaystyle x^{1-1/A(\sigma )}}$的短區間當中的質數的漸進公式相合。^[29][30]

英厄姆（英语：Albert Ingham）在1940年證明說${\displaystyle A_{I}(\sigma )={\frac {3}{2-\sigma }}}$，^[31]赫胥黎（英语：Martin Huxley）在1971年證明說${\displaystyle A_{H}(\sigma )={\frac {3}{3\sigma -1}}}$；^[32] 而古斯（英语：Larry Guth）及梅納德在2024年的一篇預印本中證明說${\displaystyle A_{GM}(\sigma )={\frac {15}{5\sigma +3}}}$^[33][34][35]並證明說這些公式和${\displaystyle \sigma _{I,GM}=7/10<\sigma _{H,GM}=8/10<\sigma _{I,H}=3/4}$相契合。因此古斯和梅納德近期的成果給出了已知最接近${\displaystyle \sigma =1/2}$、符合一般對黎曼猜想期望的數值，並將其界限改進至${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{{\frac {30}{13}}(1-\sigma )+\varepsilon }}$，或等價地，非病態地和${\displaystyle x^{17/30}}$成比例。

在理論上，貝克、哈曼（英语：Glyn Harman）和平茨（匈牙利语：Pintz János）三氏對勒讓德猜想的估計的改進、對沒有西格爾零點的區域的估計，以及其他的事情也是可期待的。

黎曼ζ函數屬於一類被稱為L函數的一類更加一般的函數。

在2010年，約瑟夫·伯恩斯坦（英语：Joseph Bernstein）及安德烈·瑞斯妮可夫（Andre Reznikov）給出了估計定義在${\displaystyle PGL(2)}$之上的L函數的次凸性值的方法；^[36]同一年，阿克沙伊·文卡泰什及飛利浦·麥可（英语：Philippe Michel (number theorist)）給出了估計定義在${\displaystyle GL(1)}$和${\displaystyle GL(2)}$之上的L函數的次凸性值的方法；^[37]而在2021年，保羅·尼爾森（Paul Nelson）估計定義在${\displaystyle GL(n)}$之上的L函數的值的方法。^[38][39]

• Z函數（英语：Z function）中的林德勒夫猜想

• Backlund, R., Über die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der Zeta-Funktion, Ofversigt Finska Vetensk. Soc., 1918–1919, 61 (9) 
• Bourgain, Jean, Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function, Journal of the American Mathematical Society, 2017, 30 (1): 205–224, MR 3556291, S2CID 118064221, arXiv:1408.5794 , doi:10.1090/jams/860 
• Conrey, J. B.; Farmer, D. W.; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, M. O.; Snaith, N. C., Integral moments of L-functions, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 2005, 91 (1): 33–104, ISSN 0024-6115, MR 2149530, S2CID 1435033, arXiv:math/0206018 , doi:10.1112/S0024611504015175 
• Conrey, J. B.; Farmer, D. W.; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, M. O.; Snaith, N. C., Lower order terms in the full moment conjecture for the Riemann zeta function, Journal of Number Theory, 2008, 128 (6): 1516–1554, ISSN 0022-314X, MR 2419176, S2CID 15922788, arXiv:math/0612843 , doi:10.1016/j.jnt.2007.05.013 
• Conrey, J. B.; Ghosh, A., A conjecture for the sixth power moment of the Riemann zeta-function, International Mathematics Research Notices, 1998, 1998 (15): 775–780, Bibcode:1998math......7187C, ISSN 1073-7928, MR 1639551, arXiv:math/9807187 , doi:10.1155/S1073792898000476  
• Edwards, H. M., Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, 1974, ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039  2001 pbk reprint
• Heath-Brown, D. R., The fourth power moment of the Riemann zeta function, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 1979, 38 (3): 385–422, ISSN 0024-6115, MR 0532980, doi:10.1112/plms/s3-38.3.385 
• Huxley, M. N., Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000), A K Peters: 275–290, 2002, MR 1956254 
• Huxley, M. N., Exponential sums and the Riemann zeta function. V, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 2005, 90 (1): 1–41, ISSN 0024-6115, MR 2107036, doi:10.1112/S0024611504014959 
• Ingham, A. E., Mean-Value Theorems in the Theory of the Riemann Zeta-Function, Proc. London Math. Soc., 1928, s2–27 (1): 273–300, doi:10.1112/plms/s2-27.1.273 
• Ingham, A. E., On the estimation of N(σ,T), The Quarterly Journal of Mathematics, Second Series, 1940, 11 (1): 291–292, Bibcode:1940QJMat..11..201I, ISSN 0033-5606, MR 0003649, doi:10.1093/qmath/os-11.1.201 
• Karatsuba, Anatoly; Voronin, Sergei, The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics 5, Berlin: Walter de Gruyter & Co., 1992, ISBN 978-3-11-013170-3, MR 1183467 
• Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C., Random matrix theory and ζ(1/2+it), Communications in Mathematical Physics, 2000, 214 (1): 57–89, Bibcode:2000CMaPh.214...57K, CiteSeerX 10.1.1.15.8362 , ISSN 0010-3616, MR 1794265, S2CID 11095649, doi:10.1007/s002200000261 
• Lindelöf, Ernst, Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ(s), Bull. Sci. Math., 1908, 32: 341–356 
• Motohashi, Yõichi, A relation between the Riemann zeta-function and the hyperbolic Laplacian, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV, 1995, 22 (2): 299–313, ISSN 0391-173X, MR 1354909 
• Motohashi, Yõichi, The Riemann zeta-function and the non-Euclidean Laplacian, Sugaku Expositions, 1995, 8 (1): 59–87, ISSN 0898-9583, MR 1335956 
• Titchmarsh, Edward Charles, The theory of the Riemann zeta-function 2nd, The Clarendon Press Oxford University Press, 1986, ISBN 978-0-19-853369-6, MR 0882550 
• Voronin, S.M., L/l058960, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4