林德勒夫猜想 (Lindelöf hypothesis)是一個由芬蘭 數學家恩斯特·雷納德·林德勒夫 提出一個關於黎曼ζ函數 在臨界線上增長率的猜想。[ 1] 這猜想可由黎曼猜想 導出,其形式以大O符號 表述如下:
對於任意的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
而言,在
t
{\displaystyle t}
趨近於無窮時,有
ζ
(
1
2
+
i
t
)
=
O
(
t
ε
)
{\displaystyle \zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=O(t^{\varepsilon })}
由於
ε
{\displaystyle \varepsilon }
可由一個較小的值取代之故,因此這猜想可重述如下:
對於任意的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
而言,有
ζ
(
1
2
+
i
t
)
=
o
(
t
ε
)
{\displaystyle \zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=o(t^{\varepsilon })}
μ函數
設
σ
{\displaystyle \sigma }
是一個實數 ,則可定義
μ
(
σ
)
{\displaystyle \mu (\sigma )}
為所有使得
ζ
(
σ
+
i
T
)
=
O
(
T
a
)
{\displaystyle \zeta (\sigma +iT)=O(T^{a})}
的實數
a
{\displaystyle a}
當中的最小數。在這種定義下,易見對於任意的
σ
>
1
{\displaystyle \sigma >1}
,有
μ
(
σ
)
=
0
{\displaystyle \mu (\sigma )=0}
,而從黎曼ζ函數的函數方程 可導出說
μ
(
σ
)
=
μ
(
1
−
σ
)
−
σ
+
1
2
{\displaystyle \mu (\sigma )=\mu (1-\sigma )-\sigma +{\frac {1}{2}}}
。另一方面,由夫拉門–林德勒夫定理 可導出說
μ
{\displaystyle \mu }
是一個凸函數 。林德勒夫猜想基本就是說,
μ
(
1
2
)
=
0
{\displaystyle \mu ({\frac {1}{2}})=0}
,將此點和上述的性質結合,這猜想也意味著說在
σ
≥
1
2
{\displaystyle \sigma \geq {\frac {1}{2}}}
時,
μ
(
σ
)
=
0
{\displaystyle \mu (\sigma )=0}
;而在
σ
≤
1
2
{\displaystyle \sigma \leq {\frac {1}{2}}}
時,
μ
(
σ
)
=
1
2
−
σ
{\displaystyle \mu (\sigma )={\frac {1}{2}}-\sigma }
由於
μ
(
1
)
=
0
{\displaystyle \mu (1)=0}
且
μ
(
0
)
=
1
2
{\displaystyle \mu (0)={\frac {1}{2}}}
,因此從林德勒夫對這函數的凸性可導出說
0
≤
μ
(
1
2
)
=
1
4
{\displaystyle 0\leq \mu ({\frac {1}{2}})={\frac {1}{4}}}
。之後G·H·哈代 藉由將外爾 估計指數和 的方式用於近似函數方程 的做法,將這上界降至
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
。在那之後數名研究者用長且技術性的數學證明 ,將之降到稍微低於
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
的數值。下表顯示了對於這數值的改進:
μ (1/2) ≤
μ (1/2) ≤
研究者
1/4
0.25
Lindelöf[ 2]
凸性上界
1/6
0.1667
Hardy & Littlewood[ 3] [ 4]
163/988
0.1650
Walfisz 1924[ 5]
27/164
0.1647
Titchmarsh 1932[ 6]
229/1392
0.164512
Phillips 1933[ 7]
0.164511
Rankin 1955[ 8]
19/116
0.1638
Titchmarsh 1942[ 9]
15/92
0.1631
Min 1949[ 10]
6/37
0.16217
Haneke 1962[ 11]
173/1067
0.16214
Kolesnik 1973[ 12]
35/216
0.16204
Kolesnik 1982[ 13]
139/858
0.16201
Kolesnik 1985[ 14]
9/56
0.1608
Bombieri & Iwaniec 1986[ 15]
32/205
0.1561
Huxley[ 16]
53/342
0.1550
Bourgain[ 17]
13/84
0.1548
Bourgain[ 18]
和黎曼猜想間的關係
Backlund[ 19] 在1918至1919年間,證明了說林德勒夫猜想和下述與黎曼ζ函數的零點 相關的敘述等價:在
T
{\displaystyle T}
趨近於無窮時,實部 至少為
1
2
+
ε
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+\varepsilon }
且虛部 介於
T
{\displaystyle T}
和
T
+
1
{\displaystyle T+1}
之間的零點,其數量會趨近於
o
(
log
T
)
{\displaystyle o(\log {T})}
。
由於黎曼猜想指稱在這區域中沒有任何零點之故,因此黎曼猜想會導出林德勒夫猜想。目前已知虛部 介於
T
{\displaystyle T}
和
T
+
1
{\displaystyle T+1}
之間的零點的數量為
O
(
log
T
)
{\displaystyle O(\log {T})}
,因此林德勒夫猜想似乎只稍強於已知的結果,但盡管如此,人們迄今依舊無法證明林德勒夫猜想。
黎曼ζ函數的冪的平均值
林德勒夫猜想與以下陳述等價:
對於任意的正整數
k
{\displaystyle k}
和正實數
ε
{\displaystyle \varepsilon }
而言,有以下等式:
1
T
∫
0
T
|
ζ
(
1
/
2
+
i
t
)
|
2
k
d
t
=
O
(
T
ε
)
{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{\varepsilon })}
目前已證明這等式對
k
=
1
{\displaystyle k=1}
及
k
=
2
{\displaystyle k=2}
成立,但
k
=
3
{\displaystyle k=3}
的情況似乎困難許多,且依舊是個未解決的問題 。
對於這積分 的非病態行為,有著下列更加精確的猜想:
一般認為,對某些常數
c
k
,
j
{\displaystyle c_{k,j}}
而言,有以下等式:
∫
0
T
|
ζ
(
1
/
2
+
i
t
)
|
2
k
d
t
=
T
∑
j
=
0
k
2
c
k
,
j
log
(
T
)
k
2
−
j
+
o
(
T
)
{\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}
李特爾伍德證明了
k
=
1
{\displaystyle k=1}
的情況,而希斯-布朗[ 20] 藉由推廣英厄姆(Ingham)找到首項係數的結果[ 21] ,證明了
k
=
2
{\displaystyle k=2}
的情況。
Conrey和Ghosh[ 22] 推測,在
k
=
6
{\displaystyle k=6}
時首項係數應當為
42
9
!
∏
p
(
(
1
−
p
−
1
)
4
(
1
+
4
p
−
1
+
p
−
2
)
)
{\displaystyle {\frac {42}{9!}}\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)}
而Keating和Snaith[ 23] 利用隨機矩陣 理論,對
k
{\displaystyle k}
更大的情況的係數的值做出了一些猜測。目前猜想這積分的首項係數的值是某個初等因子、質數 的某種乘積,和由下列數列 給出的
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
楊表 的數字彼此間的乘積:
1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ... (OEIS 數列A039622 )
其他後果
設
p
n
{\displaystyle p_{n}}
為第
n
{\displaystyle n}
個質數 ,並設
g
n
=
p
n
+
1
−
p
n
.
{\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }
為質數間隙 ,則一個由阿爾伯特·英厄姆 證明的結果顯示,若林德勒夫猜想成立,則對於任意的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
而言,當
n
{\displaystyle n}
足夠大 時,有以下不等式:
g
n
≪
p
n
1
/
2
+
ε
{\displaystyle g_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }}
對於質數間隙,一個比英厄姆的結果更強的猜想是克拉梅爾猜想 ,其陳述如下:[ 24] [ 25]
g
n
=
O
(
(
log
p
n
)
2
)
.
{\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right).}
密度假說
已知的無零點區域,略合於此張圖的右下角;而若黎曼猜想得證,就會將整張圖給壓縮到x軸上,也就是
A
R
H
(
σ
>
1
/
2
)
=
0
{\displaystyle A_{RH}(\sigma >1/2)=0}
。在另一邊,此圖中的上界
A
D
H
(
1
−
σ
)
=
2
(
1
−
1
/
2
)
=
1
{\displaystyle A_{DH}(1-\sigma )=2(1-1/2)=1}
與從黎曼-馮·曼戈爾特公式 得出的顯著上界相合。(也有其他各式各樣的估計[ 26] )
密度假說指稱
N
(
σ
,
T
)
≤
N
2
(
1
−
σ
)
+
ε
{\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{2(1-\sigma )+\varepsilon }}
,其中
N
(
σ
,
T
)
{\displaystyle N(\sigma ,T)}
是
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
的零點
ρ
{\displaystyle \rho }
在
R
(
s
)
≥
σ
{\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)\geq \sigma }
以及
|
I
(
s
)
|
≤
T
{\displaystyle |{\mathfrak {I}}(s)|\leq T}
所構成的範圍內的數量,且這假說可由林德勒夫猜想得出。[ 27] [ 28]
更一般地,設
N
(
σ
,
T
)
≤
N
A
(
σ
)
(
1
−
σ
)
+
ε
{\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{A(\sigma )(1-\sigma )+\varepsilon }}
,則已知這界限大致和長度為
x
1
−
1
/
A
(
σ
)
{\displaystyle x^{1-1/A(\sigma )}}
的短區間當中的質數的漸進公式相合。[ 29] [ 30]
英厄姆 在1940年證明說
A
I
(
σ
)
=
3
2
−
σ
{\displaystyle A_{I}(\sigma )={\frac {3}{2-\sigma }}}
,[ 31] 赫胥黎 在1971年證明說
A
H
(
σ
)
=
3
3
σ
−
1
{\displaystyle A_{H}(\sigma )={\frac {3}{3\sigma -1}}}
;[ 32]
而古斯 及梅納德 在2024年的一篇預印本中證明說
A
G
M
(
σ
)
=
15
5
σ
+
3
{\displaystyle A_{GM}(\sigma )={\frac {15}{5\sigma +3}}}
[ 33] [ 34] [ 35] 並證明說這些公式和
σ
I
,
G
M
=
7
/
10
<
σ
H
,
G
M
=
8
/
10
<
σ
I
,
H
=
3
/
4
{\displaystyle \sigma _{I,GM}=7/10<\sigma _{H,GM}=8/10<\sigma _{I,H}=3/4}
相契合。因此古斯和梅納德近期的成果給出了已知最接近
σ
=
1
/
2
{\displaystyle \sigma =1/2}
、符合一般對黎曼猜想期望的數值,並將其界限改進至
N
(
σ
,
T
)
≤
N
30
13
(
1
−
σ
)
+
ε
{\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{{\frac {30}{13}}(1-\sigma )+\varepsilon }}
,或等價地,非病態地和
x
17
/
30
{\displaystyle x^{17/30}}
成比例。
在理論上,貝克、哈曼 和平茨 三氏對勒讓德猜想 的估計的改進、對沒有西格爾零點 的區域的估計,以及其他的事情也是可期待的。
L函數
黎曼ζ函數屬於一類被稱為L函數 的一類更加一般的函數。
在2010年,約瑟夫·伯恩斯坦 及安德烈·瑞斯妮可夫(Andre Reznikov)給出了估計定義在
P
G
L
(
2
)
{\displaystyle PGL(2)}
之上的L函數的次凸性值的方法;[ 36] 同一年,阿克沙伊·文卡泰什 及飛利浦·麥可 給出了估計定義在
G
L
(
1
)
{\displaystyle GL(1)}
和
G
L
(
2
)
{\displaystyle GL(2)}
之上的L函數的次凸性值的方法;[ 37] 而在2021年,保羅·尼爾森(Paul Nelson)估計定義在
G
L
(
n
)
{\displaystyle GL(n)}
之上的L函數的值的方法。[ 38] [ 39]
參見
註解和參考資料
^ 參見Lindelöf (1908)
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