黎曼-西格尔公式

在数学中，黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式，前者是ζ函數的近似值，由两个有限狄利克雷级数的和来近似。Siegel (1932)在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它，这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值，与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合，可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时，通常将其变换为关于Z函数的公式比较有用。

如果M和N是非负整数，那么ζ函数等于

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}$

其中

${\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}}$

是函数方程ζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s)中出现的因数，且

${\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx}$

是一个围道积分，围道的起点和终点在+∞处，并最多绕绝对值奇点2πM圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。Siegel (1932)和Edwards (1974)通过将最速下降法应用于该积分，推导出黎曼-西格尔公式，将误差项R(s)渐近展开为Im(s)的负幂次级数。在应用中，s通常位于临界线上，并且选择正整数M和N约为(2πIm(s))^1/2。Gabcke (1979)发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。

黎曼证明了

${\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}$

积分围道是一条斜率为-1的线，通过0和1之间(Edwards 1974，7.9)。

他用此给出了以下ζ函数的积分公式：

${\displaystyle \pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx}$

• Berry, Michael V., The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders, Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1995, 450 (1939): 439–462, ISSN 0962-8444, MR 1349513, Zbl 0842.11030, doi:10.1098/rspa.1995.0093 
• Edwards, H.M., Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics 58, New York-London: Academic Press, 1974, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035 
• Gabcke, Wolfgang, Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel, Georg-August-Universität Göttingen, 1979, Zbl 0499.10040 （德语） 
• Patterson, S.J., An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 14, Cambridge: Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-33535-3, Zbl 0641.10029 
• Siegel, C. L., Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, 1932: 45–80, JFM 58.1037.07, Zbl 0004.10501  Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

• Gourdon, X., Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, [2018-04-13], （原始内容存档于2018-03-29） 
• 埃里克·韦斯坦因. 黎曼-西格尔公式. MathWorld.