泛包絡代數在數學中,我們可以構造任意李代數 的泛包絡代數 。李代數一般並非結合代數,但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上,泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。 泛性質以下固定域 。首先注意到:對任意帶乘法單位元的 -結合代數 ,定義括積 ,可視 為李代數。 泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 及一個指定的李代數同態 。這對資料由下述泛性質刻劃: 對任意帶乘法單位元的 -結合代數 , 若存在李代數同態
則存在唯一的代數同態 使之滿足 換言之,函子 滿足下述關係: 藉此,可視 為 (單位結合代數)(李代數)的左伴隨函子。 構造方式首先考慮張量代數 ,此時有自然的包含映射 。取 為下列元素生成的雙邊理想 定義 所求的映射 為 與商映射的合成。容易驗證 保存李括積。 根據上述構造,可直接驗證所求的泛性質。 基本性質
庞加莱-伯克霍夫-维特定理庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 的基 ,此定理斷言 是 的基。此定理的直接推論是: 為單射。 表示理論在泛性質中取 ,其中 為任意向量空間,遂可等同 的表示與 的表示,後者不外是 -模。藉此觀點,李代數表示理論可視為模論的一支。 群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。 文獻
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