渗流理论 （英語：Percolation theory 随机图 上簇的性质的一套理论。举例来说，假设有一多孔材料，求问液体能否从顶端贯穿该材料直至到达底部。渗流理论将此抽象成以下数学问题：建立一有n × n × n 个顶点 的三维网格模型，相邻顶点 的边 有p p )的概率是不连接的，每条边连接与否相互独立。渗流理论的基本问题是，当n 很大以至于体系可以近似为无限网格时，求问至少存在一条贯穿整个网格的路径（称为渗流）对应的p 的范围。这一p 的下界，p c ，称为渗流阈值 [ 1]
上述问题称为边渗流 或键渗流 （英語：Bond percolation 点渗流 （英語：Site percolation 顶点 有p 的概率是“占有”的；相应有(1-p )的概率是“空缺”的，如果相邻两个顶点皆属于占有则它们之间是连接的。而问题相同：求给定p 值时，整个图是否渗流。
根据零一律 ，一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0，要么为1，处于这一转折的临界概率称为渗流阈值，记作p c 。少数简单模型的渗流阈值有精确的解析解。例如，一维点阵的边渗流和点渗流阈值均为p c =1，这个解是平凡的；[ 2] 哈里·凯斯滕 Kesten (1982) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFKesten1982 (幫助 ) ）。[ 3] 贝特晶格 顶点 有z 个近邻顶点，如此延伸，没有回路），
p
c
=
1
z
−
1
{\displaystyle p_{c}={\frac {1}{z-1}}}
以下给出d 维简单立方模型的渗流阈值数据：
d
配位数z
点渗流
边渗流
2
4
0.59274601(2)[ 4]
1/2
3
6
0.3116077(4)[ 5]
0.2488126(5)[ 6]
4
8
0.1968861(14),[ 7] [ 8]
0.1601314(13),[ 7] [ 8]
5
10
0.1407966(15),[ 7] [ 8]
0.118172(1),[ 7] [ 8]
6
12
0.109017(2),[ 7] [ 8]
0.0942019(6),[ 7] [ 8]
7
14
0.0889511(9), [ 7] [ 8]
0.0786752(3),[ 7] [ 8]
8
16
0.0752101(5),[ 7] [ 8]
0.06770839(7),[ 7] [ 8]
9
18
0.0652095(3),[ 7] [ 8]
0.05949601(5),[ 7] [ 8]
10
20
0.0575930(1),[ 7] [ 8]
0.05309258(4),[ 7] [ 8]
11
22
0.05158971(8),[ 7] [ 8]
0.04794969(1),[ 7] [ 8]
12
24
0.04673099(6),[ 7] [ 8]
0.04372386(1),[ 7] [ 8]
13
26
0.04271508(8),[ 7] [ 8]
0.04018762(1),[ 7] [ 8]
实际计算中，当网格边长n 较大时，比如n =100，一个体系是否渗流的概率在p c 附近的变化已经非常尖锐。
模型在渗流阈值附近的行为可视作一种相变 ，因为有些表征性质的物理量是发散的，比如簇的期望大小。标度理论认为模型在渗流阈值的性质可以用一系列临界指数 描述。例如，相互连接的点（点渗流）或边（边渗流）构成一个簇。当
p
=
p
c
{\displaystyle p=p_{c}}
n
s
∼
s
−
τ
,
(
s
→
∞
)
{\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau },(s\rightarrow \infty )}
s
{\displaystyle s}
n
s
{\displaystyle n_{s}}
τ
{\displaystyle \tau }
费舍尔指数 （Fischer exponent ）。
又如，两个距离为
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}\,\!}
g
(
r
→
)
∼
|
r
→
|
−
d
+
(
2
+
η
)
{\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2+\eta )}\,\!}
η
{\displaystyle \eta }
反常维度 （Anomalous dimension ）。
在渗流阈值时，无限的簇可视作一分形 。以该无限的簇上的一点为中心，长度为
L
{\displaystyle L}
M
(
L
)
=
L
d
f
{\displaystyle M(L)=L^{d_{\mathrm {f} }}}
d
f
{\displaystyle d_{\mathrm {f} }}
分形维度 （Fractal dimension ）。以上三个指数满足
τ
=
d
d
f
+
1
{\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!}
η
=
2
+
d
−
2
d
f
{\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!}
渗流临界指数及关系也是渗流理论研究的重要内容。
^ Broadbent, S. R.; Hammersley, J. M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1953, 53 (03): 629. Bibcode:1957PCPS...53..629B ISSN 0305-0041 doi:10.1017/S0305004100032680 ^ Dietrich Stauffer; Ammon Aharony. Introduction to percolation theory revised second edition. CRC press. 2014. ISBN 0748400273 ^ Bollobás, Béla; Riordan, Oliver. Sharp thresholds and percolation in the plane. Random Structures and Algorithms. 2006, 29 (4): 524–548. ISSN 1042-9832 arXiv:math/0412510 doi:10.1002/rsa.20134 ^ Jacobsen, J. L. High-precision percolation thresholds and Potts-model critical manifolds from graph polynomials. J. Phys. A: Math. Theor. 2014, 47 (13): 135001. Bibcode:2014JPhA...47m5001G arXiv:1401.7847 doi:10.1088/1751-8113/47/13/135001 ^ Deng, Youjin; H. W. J. Blöte. Monte Carlo study of the site-percolation model in two and three dimensions. Physical Review E. 2005, 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D doi:10.1103/PhysRevE.72.016126 ^ Lorenz, C. D.; R. M. Ziff. Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices. Physical Review E. 1998, 57 : 230–236. Bibcode:1998PhRvE..57..230L arXiv:cond-mat/9710044 doi:10.1103/PhysRevE.57.230 ^ 7.00 7.01 7.02 7.03 7.04 7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 Grassberger, Peter. Critical percolation in high dimensions. Physical Review E. 2003, 67 (3): 4. Bibcode:2003PhRvE..67c6101G arXiv:cond-mat/0202144 doi:10.1103/PhysRevE.67.036101 ^ 8.00 8.01 8.02 8.03 8.04 8.05 8.06 8.07 8.08 8.09 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 Mertens, Stephan; Christopher Moore. Percolation Thresholds and Fisher Exponents in Hypercubic Lattices. 2018. arXiv:1806.08067 cond-mat.stat-mech ].
