爱因斯坦关系

在分子运动论中，爱因斯坦关系是一个以前没有想到的关系，由阿尔伯特·爱因斯坦在1905年和Marian Smoluchowski在1906年独立发现：

${\displaystyle D={\mu _{p}\,k_{B}T}}$

把D——扩散常数，和μ_p——粒子的迁移率联系起来；其中${\displaystyle k_{B}}$是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。

迁移率μ_p是粒子的终极速度与作用力之比：μ_p = v_d / F。

这个方程是涨落耗散定理（英语：Fluctuation-dissipation_theorem）的一个早期的例子。它在电子扩散的现象中经常使用。

在低雷诺数的极限下，迁移率${\displaystyle \mu }$是阻力系数${\displaystyle \gamma }$的倒数。对于半径为${\displaystyle r}$的球形粒子，斯托克斯定律给出：

${\displaystyle \gamma =6\pi \,\eta \,r,}$

其中${\displaystyle \eta }$是介质的黏度。因此爱因斯坦关系变为：

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$

这个方程也称为斯托克斯-爱因斯坦关系或斯托克斯-爱因斯坦-萨瑟兰方程^[1]。它可以用于估计球状蛋白在水溶液中的扩散系数：对于100kDalton的蛋白质，我们得到${\displaystyle D}$ ~10^-10 m² s^-1，假设蛋白质的密度是“标准”的~1.2 10³ kg m^-3。

当应用于电传导的时候，通常把电迁移率定义为机械导纳${\displaystyle \mu _{p}}$与载流子的电荷q的乘积：

${\displaystyle \mu _{q}=q*{\mu _{p}}}$

也可以表述为：

${\displaystyle \mu _{q}={{v_{d}} \over {E}}}$

其中E是施加的电场；因此爱因斯坦关系变为：

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}}$

在任意态密度的半导体中，爱因斯坦关系为：

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}}$

其中${\displaystyle \eta }$是化学势，p是粒子数。

• "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" by Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）