良序定理

在數學中，良序定理（英語：Well-ordering theorem），或稱 Zermelo 定理，表示「所有集合都可以被良排序」。一集合 ${\displaystyle X}$ 被一個嚴格全序所良排序，如若對任意 ${\displaystyle X}$ 之非空子集，在該序關係下均蘊含一個最大元。所有與選擇公理等價之命題，良序定理同 Zorn 引理 乃最重要的兩個陳述。該定理相當重要，超限歸納法藉由該定理方可作用于任意集合。

Cantor 认为良序定理是“思维的基本原理”。但是多数数学家发现，找到如实数集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 这样的良序集合並非那麽容易。在1904年，Gyula Kőnig（英语：Julius König） 声称已经证明了这种良序不能存在。几周之后，Felix Hausdorff 在他的证明中发现了一个错误。在此之後，Ernst Zermelo 引入了 “無可非議” 的选择公理，以证明良序定理^[1]。事實上在一階邏輯下，良序定理等价于选择公理，其中一个和 Zermelo-Frankel 集合論一起即可证明另一个；在二階邏輯下良序定理略強於選擇公理。

良序定理可給出似乎是悖论的推论，比如 Banach-Tarski 悖论。

關於選擇公理、Zorn 引理、良序定理，下面這句玩笑話在某種程度上説明了其直覺上之聯係：

「選擇公理顯然爲真，而良序原理顯然為假，那誰來說説 Zorn 引理？」^[2]

證明如下。^[3]

設有欲良排序之任意集合 ${\displaystyle A}$，令 ${\displaystyle f}$ 為 ${\displaystyle A}$ 非空子集族的選擇函數。對任意序數 ${\displaystyle \alpha }$，定義 ${\displaystyle A}$ 中的元 ${\displaystyle a_{\alpha }}$ 為 ${\displaystyle a_{\alpha }=f\left(A\backslash \left\{a_{\xi }\colon \xi <\alpha \right\}\right)}$ 當 ${\displaystyle A\backslash \left\{a_{\xi }\colon \xi <\alpha \right\}}$ 非空，否則使 ${\displaystyle a_{\alpha }}$ 未定義。此時，${\displaystyle a_{\alpha }}$ 選擇自 ${\displaystyle A}$ 之元素所構成的集合，而尚未被排序（或者因爲 ${\displaystyle A}$ 已然完全枚舉而未被定義）。接下來，定義 ${\displaystyle A}$ 上的序關係 ${\displaystyle <}$ 以 ${\displaystyle a_{\alpha }<a_{\beta }}$ 當且僅當 ${\displaystyle \alpha <\beta }$（在序數間通常的良序下），此即所需之 ${\displaystyle A}$ 上的良序，序類型 ${\displaystyle \sup \left\{\alpha \colon a_{\alpha }{\mbox{ is defined}}\right\}}$。

證明如下。

為構建非空集之集族 ${\displaystyle E}$ 上之選擇函數，對該集族取并為 ${\displaystyle X=\bigcup _{A\in E}A}$。${\displaystyle X}$ 存在良序；設該序關係為 ${\displaystyle R}$。對每個 ${\displaystyle E}$ 中的元 ${\displaystyle S}$，規定選擇函數映之于 ${\displaystyle S}$ 中在序關係 ${\displaystyle R}$ 下的最大元。這樣就得到了所需的選擇函數。

證明中，一個必不可少的點在於，證明僅涉及唯一一個任意選擇，即 ${\displaystyle R}$；分別于 ${\displaystyle E}$ 的每個元 ${\displaystyle S}$ 應用良序定理并不一定可行，因爲良序定理僅聲明了良序之存在性，而為每個 ${\displaystyle S}$ 賦予良序將要求簡單地對每個 ${\displaystyle S}$ 選擇出一個元那麽多的選擇。特別地，如果 ${\displaystyle E}$ 擁有不可數那麽多的集合，不借由選擇公理，進行不可數次的選擇在 ZF 集合論下不被允許。

• 良序關係
• 选择公理
• 佐恩引理

1. ^ Thierry; Vialar. Handbook of Mathematics. Norderstedt: Springer. : 23 [2024-11-03]. ISBN 978-2-95-519901-5. （原始内容存档于2023-05-16）. 
2. ^ Krantz, Steven G., The Axiom of Choice, Krantz, Steven G. (编), Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science, Birkhäuser Boston: 121–126, 2002, ISBN 9781461201151, doi:10.1007/978-1-4612-0115-1_9 （英语） 
3. ^ Jech, Thomas. Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. 2002: 48. ISBN 978-3-540-44085-7.