角直徑距離

角直徑距離一般是天文學中使用的距離。天體的角直徑距離被定義為天體的真實大小 ${\displaystyle x}$ 和它從地球觀察所見的角直徑 ${\displaystyle \theta }$ 之比。
${\displaystyle d_{A}={\frac {x}{\theta }}}$
角直徑距離的確定依賴於宇宙模型的選取。一個紅移為 ${\displaystyle z}$ 的天體的角直徑距離用同移距離 ${\displaystyle \chi }$ 表示為：
${\displaystyle d_{A}={\frac {r(\chi )}{1+z}}}$
此處${\displaystyle r(\chi )}$ 為弗里德曼-羅伯遜-沃爾克坐標，其定義如下：
${\displaystyle r(\chi )={\begin{cases}\sin \left({\sqrt {-\Omega _{k}}}H_{0}\chi \right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}<0\\\chi &\Omega _{k}=0\\\sinh \left({\sqrt {\Omega _{k}}}H_{0}\chi \right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}>0\end{cases}}}$
此處${\displaystyle \Omega _{k}}$ 是曲率密度，和${\displaystyle H_{0}}$ 是哈伯參數目前的值。

在目前被普遍推崇的ΛCDM模型中，一個天體的「角直徑距離」是對「真實距離」（即光線發出時刻的同移距離）很好的近似。請注意當紅移較大時，增加紅移會得到更小的角直徑距離。換言之，在一個天體「後面」的另一個相同大小的天體，如果紅移較大（約大於Z=1.5），會在天球上顯示更大的張角，而且會有「較小」的「角直徑距離」。

角大小與紅移的關係描述天體在地球上觀測到的角大小與其紅移（與距離 ${\displaystyle d}$ 有關）的關係。根據歐幾里得幾何，這個關係可表達為：

${\displaystyle \tan \left(\theta \right)={\frac {x}{d}}}$

其中 ${\displaystyle \theta }$是天體的角大小，${\displaystyle x}$ 是其真實大小，${\displaystyle d}$ 是天體到地球的距離。當 ${\displaystyle \theta }$ 很小時，上式可以近似為：

${\displaystyle \theta \approx {\frac {x}{d}}}$.

但是，在ΛCDM模型中，這個關係是複雜的。如上所述，此模型中，當天體的紅移增加至大於約1.5之後，隨著紅移的增加天體的角大小增大。

具體的角直徑距離 ${\displaystyle d_{a}}$ 和紅移的關係如下：

${\displaystyle d_{a}={\cfrac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}{\cfrac {(zq_{0}+(q_{0}-1)({\sqrt {2q_{0}z+1}}-1))}{(1+z)^{2}}}}$

其中 ${\displaystyle q_{0}}$ 為減速因子（英语：Deceleration parameter），它描述宇宙减速膨胀的加速度；在最简化的模型中，${\displaystyle q_{0}<0.5}$ 代表宇宙將永遠膨脹，${\displaystyle q_{0}>0.5}$ 代表闭合宇宙（最終將停止膨脹并收縮），${\displaystyle q_{0}=0.5}$ 代表臨界的狀態－宇宙將正好可以膨脹至無窮遠而不會收縮。

馬蒂公式（英语：Mattig formula）是 ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0}$ 情况下的角直徑距離与紅移的关系^[1]。

• 距離測量 (宇宙學)
• 標準尺

1. ^ An introduction to the science of cosmology, Chapter 6:2 （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Derek J. Raine & Edwin George Thomas (2001)

• iCosmos: Cosmology Calculator (With Graph Generation ) （页面存档备份，存于互联网档案馆）