里斯表示定理

在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（英語：Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。

此定理說明希尔伯特空间的連續線性泛函都可以表示成內積。

定理：${\displaystyle H}$是個複希尔伯特空间（也就是标量是複數），那對於任意連續線性泛函 ${\displaystyle f:H\to \mathbb {C} }$，存在唯一的 ${\displaystyle v_{f}\in H}$ 使得

${\displaystyle f(h)=\langle v_{f},\,h\rangle }$

證明的重點在於先證明${\displaystyle f}$ 的核的正交补是 ${\displaystyle H}$ 的一维子空间，然後取那个子空间中一个非零元素 ${\displaystyle z}$，設 ${\displaystyle v_{f}={\frac {f(z)\cdot z}{{\|z\|}^{2}}}}$。

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據；也就是說，当機率幅 ${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle }$ 對每個任意態向量 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 都是連續的時候，可以視為每个左向量 ${\displaystyle \langle \psi |}$ （也就是表示躍遷到 ${\displaystyle \psi }$ 狀態的機率幅的線性泛函）都有一个相应的右向量 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 來同時代表同一個純態 ${\displaystyle \psi }$ ，因為根據以上的表現定理， ${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle }$ 就是 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 和 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 的內積。

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇发现^[1]

给定算子 ${\displaystyle A[f]}$，（任何人）可以構造一個有界变差函数 ${\displaystyle \alpha (x)}$，使得，對任何连续函数 ${\displaystyle f(x)}$ ，（任何人）有

${\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}$。

Étant donnée l'opération ${\displaystyle A[f]}$ , on peut déterminer la fonction à variation bornée ${\displaystyle \alpha (x)}$ , telle que, quelle que soit la fonction continue ${\displaystyle f(x)}$ , on ait

${\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}$.

— Riesz, 1909

${\displaystyle C_{c}(X)}$ 意為由所有支集為紧的连续函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ 所構成的函数空间。

定理： ${\displaystyle X}$ 是局部紧的豪斯多夫空间 ，則對正线性泛函 ${\displaystyle \Lambda :C_{c}(X)\to \mathbb {R} ^{+}}$，存在一個含有所有 ${\displaystyle X}$ 的博雷爾集的Σ-代数 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ，且存在唯一的测度${\displaystyle \mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{-\infty ,\,\infty \}}$ 使得^[2]

${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu }$

且（以下的條件稱為正則的）

• 对所有 ${\displaystyle X}$ 的紧子集 ${\displaystyle K\subseteq X}$ ，${\displaystyle \mu (K)\in \mathbb {R} }$。
• 若 ${\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}}$ ，則 ${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\,U{\text{ is open}}\}}$
• 若 ${\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}}$ 且 ${\displaystyle \mu (E)\in \mathbb {R} }$ ，則 ${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\,K{\text{ is compact}}\}}$
• 若${\displaystyle O}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的開集，則${\displaystyle \mu (O)=\sup\{\mu (K):K\subseteq O,\,K{\text{ is compact}}\}}$

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本：

設 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ 為 ${\displaystyle X}$ 上所有在無窮遠處消失的连续函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ 所構成的函数空间。

定理：${\displaystyle X}$ 是局部紧的豪斯多夫空间。則對有界线性泛函 ${\displaystyle \Lambda :C_{0}(X)\to \mathbb {R} }$，存在一個含有所有 ${\displaystyle X}$ 的博雷爾集的Σ-代数 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ，且存在唯一的正則测度${\displaystyle \mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\,\infty \}}$ 使得^[2]

${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu }$

且 ${\displaystyle \Lambda }$ 的范数是 ${\displaystyle \mu }$ 的全变差（英語：total variation），即

${\displaystyle \|\Lambda \|=|\mu |(X).}$

最后，${\displaystyle \Lambda }$ 是正的当且仅当测度 ${\displaystyle \mu }$ 是非负的。

注：${\displaystyle C_{c}(X)}$ 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 ${\displaystyle C_{0}(X)}$上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 ${\displaystyle C_{c}(X)}$ 上一个无界正线性泛函不能延拓为 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
• 埃里克·韦斯坦因. Riesz Representation Theorem. MathWorld. 
• Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces. PlanetMath. 

1. ^ Gray, J. D. The shaping of the riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis. Archive for History of Exact Sciences. 1983-08-15, (31): 127–187 [2023-02-13]. doi:10.1007/BF00348293. （原始内容存档于2023-07-31） –通过Springer. 
2. ^ ^{2.0 2.1} Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGRAW-HILL. 1976. ISBN 978-0070542327.