隐式编程

隐式（tacit）编程^[1]，或称为函数级编程，是一种编程范型，也叫做无点（point-free）样式。其中函数定义不标示所要运算的被称为“点”的参数，转而函数定义只是其他函数的复合，比如那些操纵参数的组合子。隐式编程有着理论价值，因为严格的使用复合导致程序适配于等式推理（英语：Equational logic）^[2]。隐式编程是特定编程语言的天然样式，这包括了APL的一些现代实现和方言^[3]，和串接式语言比如Forth。由于缺少参数命名，认为这种风格导致了不必要的晦涩难懂的人，给它起了个绰号叫做“无意义”（pointless）风格^[2]。

在一些APL方言中，允许将函数组合入服从几个规则的“列车”（train）；这允许建立复杂的派生函数，而不需要显式指定任何参数；实现了列车的APL方言包括：J语言、Dyalog APL、dzaima/APL、ngn/apl和NARS2000^[1]。

在J语言中，下列在一个数值的列表（阵列）上计算平均值的函数采用了一种无参数样式代码：

avg=: +/ % #

+/通过将求和（+）插入（/）到一个阵列的所有元素之间来计算它们的合计值。#总计一个阵列的元素数目。%用+/这个阵列的结果值除以#这个阵列的结果值。

欧拉公式${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$可隐式表达为：

cos =: 2 o. ]
sin =: 1 o. ]
Euler =: ^@j. = cos j. sin

这里定义的函数Euler在任何输入值上都恒等于1，即这个等式永远为真。其中用到了一些原语（primitive）函数：=:表示全局定义；o.表示圆函数，由左侧名词参数选择具体的函数；]不变动的返回右侧名词参数；^的一元定义为指数函数；j.的一元定义为虚数单位0j1乘以右侧参数y，而它的二元定义为x + 0j1*y，即组合左侧参数x和右侧参数y成为复数，而二者分别是其实部和虚部；@表示数学函数复合；=是等于布尔运算，两侧参数相等返回1而不等返回0。

上述相同的隐式计算用APL的现代版本Dyalog APL^[4]表达为：

avg ← +⌿ ÷ ≢

cos ← 2 ○ ⊢
sin ← 1 ○ ⊢
j   ← {⍺←0 ⋄ ⍺+0j1×⍵}  ⍝ j函数的定义不是隐式的
Euler ← *∘j = cos j sin

这里采用直接函数（英语：Direct function）定义了j函数，其中在{与}之间由⋄分隔的是守卫的表达式序列（这里只有表达式），⍺指示左参数而⍵指示右参数，⍺←指示一元定义需要的缺省左参数。

在Unix shell脚本中，命令是从标准输入接收数据并发送结果至标准输出的过滤器（英语：Filter (software)）。例如：

sort | uniq -c | sort -rn

可以视为一个隐式或无点复合，它返回它的每个参数的计数和这些参数，并按照这个计数的递减次序来排序。命令sort和uniq相当于函数，而-c和-rn是控制这些函数的选项，但是不提及参数。管道|相当于函数复合算子。下面是其用例：

$ echo '2 4 3 1 3 12 2' | xargs -n1 | sort | uniq -c | sort -rn
      2 3
      2 2
      1 4
      1 12
      1 1

如下Python代码是对应上节示例中Unix管道中命令的函数定义和一序列的运算：

def sort(argv):
    return sorted(argv, key=str)

def uniq_c(argv):
    counts = {}
    for i in argv:
        counts[str(i)] = counts.get(str(i), 0) + 1
    return [(v, int(k)) for k , v in counts.items()]

def sort_rn(argv):
    sort_rk2 = sorted(argv, key=lambda x:str(x[1]), reverse=True)
    return sorted(sort_rk2, key=lambda x:x[0], reverse=True)

a = [2, 4, 3, 1, 3, 12, 2]
b = sort_rn(uniq_c(sort(a)))

这里的sort()由于uniq_c()所采用的实现方法不再依赖于它而没有存在必要，只是为了与上节Unix示例保持一致。

基于标准库的函数式编程工具functools中的部份应用（英语：Partial application）函数partial()和归约函数reduce()，这个例子可以写为无点样式的没有参数的一序列函数的复合^[5]：

from functools import partial, reduce

def compose(*func_list):
    return partial(reduce, lambda argv,func:func(argv), func_list)

pipeline = compose(sort, uniq_c, sort_rn)
c = pipeline(a)
assert b == c

jq是面向JSON的纯函数式编程语言，它使用|符号来连接过滤器形成流水线。例如：

$ echo '[1,2]' | jq 'add/length'
1.5
$ jq -n '[1,2] | add/length'
1.5

这里jq内的JSON阵列[1,2]是求值为阵列的一个jq过滤器。尽管类似于Unix流水线，jq流水线允许将到来数据，如同并行的发送到在|右手端的多于一个接收者。

上述Python章节中例子，在jq中等价的无点风格定义为：

def uniq_c:
    map(tostring) 
    | reduce .[] as $i ({}; .[$i] += 1)
    | to_entries | map([.value, .key]);
def sort_nr:
    sort | reverse | map([.[0], (.[1]|tonumber)]);
[2, 4, 3, 1, 3, 12, 2] 
| sort | uniq_c | sort_nr

将这段代码保存入pipeline.jq文件中，下面是其执行结果：

$ jq -nc -f ./pipeline.jq 
[[2,3],[2,2],[1,4],[1,12],[1,1]]

下面是采用纯函数式编程语言Haskell的一个简单例子，它在一个列表上作合计的函数。编程者可以使用“有点”（pointed）也称为值级编程的方法，而递归的定义这个合计为：

sum (x:xs) = x + sum xs
sum [] = 0

这是一种折叠（fold）运算，编程者可以将它改写为：

sum xs = foldr (+) 0 xs

这里的参数是不必须的，进而将它改写成如下“无点”也称为函数级编程的样式：

sum = foldr (+) 0

Haskell拥有函数复合（英语：Function composition (computer science)）算子：

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c
(.) f g = \x -> f (g x)

它有如下性质^[6]：

f . g = f(g)
f . g = (.) f g
f . g = (f .) g 
f . g = (. g) f

这里的(f .)和(. g)，分别称为.的左“节”（section）和右“节”，是对这个中缀算子的左侧和右侧部份应用（英语：Partial application）。(f .) = ((.) f)，本文采用后者形式。正如前面所说，在“无点”中的点（point）指称参数，而非不使用点号（dot），这是常见误解^[7]。

下面的例子展示其用法，给出一个函数p的定义：

p x y z = f (g x y) z

经过如下推导：

p = \x -> \y -> \z -> f (g x y) z
  = \x -> \y -> \z -> (f ((g x) y)) z
  = \x -> \y -> f ((g x) y)
  = \x -> \y -> (f . (g x)) y
  = \x -> f . (g x)
  = \x -> ((.) f) (g x)
  = \x -> (((.) f) . g) x
  = ((.) f) . g

它可以归约成无点的等价定义：

p = ((.) f) . g

下面是一个复杂一些的例子^[8]，这里的mf是一个先做映射（map）再加过滤器（filter）的函数，它接受一个列表list，向它应用一个函数operator，接着基于一个准则criteria来过滤元素：

mf criteria operator list = filter criteria (map operator list)

经过如下推导：

mf = \x -> \y -> \z -> filter x (map y z)
   = \x -> \y -> \z -> (filter x) ((map y) z)
   = \x -> \y -> \z -> (filter x) . (map y) z
   = \x -> \y -> (filter x) . (map y)
   = \x -> \y -> ((.) (filter x)) (map y)
   = \x -> \y -> ((.) (filter x)) . map y
   = \x -> ((.) (filter x)) . map
   = \x -> (. map) ((.) (filter x))
   = \x -> (. map) ((.) . filter x)
   = \x -> (. map) . ((.) . filter) x
   = (. map) . ((.) . filter)
   = (. map) . (.) . filter

mf可以表达为无点样式：

mf = (. map) . (.) . filter

在串接式编程语言和面向堆栈编程语言中，无点方法也很常用。例如，计算斐波那契数的过程，在Unix的dc命令中可实现为：

[d1<G]sF [d 1- lFx r 2- lFx +]sG lFx

下面是其用例：

$ echo 7 | dc -e '? [d1<G]sF [d 1- lFx r 2- lFx +]sG lFx p'
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在Factor中可与其等价的实现为^[9]：

: fib ( n -- Fn )
    dup 1 > [
        [ 1 - fib ] [ 2 - fib ] bi +
    ] when ;

在这两个例子中，递归调用函数的参数在堆栈中而没有被显式的命名。

• 组合子逻辑
• 串接式编程语言
• 函数级编程

• From Function-Level Programming to Pointfree Style
• Pure Functions in APL and J How to use tacit programming in any APL-like language
• Closed applicative languages 1971 - 1976 ff （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in John W. Backus (Publications)