非交換幾何 （英語：Noncommutative geometry ，简称NCG 數學 的分支領域，內容為非交換代數 結合代數 ，而乘積不是交換性 的，亦即
x
y
{\displaystyle xy}
y
x
{\displaystyle yx}
代數結構 ，其中主要二元運算 之一為非交換的。拓樸學 或範數 等概念可以延伸到非交換幾何中。
通过算子代数 （即希尔伯特空间 上有界线性算子 的代数），可以深入了解非交换空间。非交换空间的典型例子之一也许是非交换环面，在1980年代的领域发展早期发挥了关键作用，导出了向量丛 、联络 、曲率 等等概念的非交换版本。:21
主要动机是将空间与代数之间的交换对偶性扩展到非交换环境。数学中，带几何性质的空间 可以与空间上的数值函数 相关联。这些函数一般会形成交换环 。例如，在拓扑空间 X上可取连续 复值 函数环C (X )。许多时候（如当X是紧 豪斯多夫空间 时），都可以从C (X )中复原出X，所以说X具有交换拓扑。
更具体地说，在拓扑学中，紧豪斯多夫 拓扑空间可从空间上函数的巴拿赫代数 中重建出来（Gelfand–Naimark定理）。在交换代数几何 中，概形 是交换酉环的局部素谱（A. Grothendieck ），每个拟分离概形
X
{\displaystyle X}
O
X
{\displaystyle O_{X}}
格罗滕迪克拓扑 ，景的上同调性质是相应的被抽象为意象 的集合层范畴的不变量（A. Grothendieck）。在所有这些情形下，空间都是从函数代数或其范畴形式（空间上的层范畴 ）重建出来的。
拓扑空间上的函数可进行乘和逐点加，因此构成了交换代数；事实上，这些运算在基空间拓扑中是局部的，因此函数构成了基空间上的交换环层。
非交换几何试图将这种对偶性推广到非交换代数、非交换代数的层、类层非交换代数、算子代数结构与某些几何实体之间的对偶性，并通过这种对偶性给出实体的代数描述与几何描述之间的相互作用。
考虑到交换环对应通常的仿射概形，交换C*-代数 对应通常的拓扑空间，要推广到非交换环和代数，需要拓扑空间 的非平凡推广，即“非交换空间”。因此，有一些关于非交换拓扑 的讨论。
粒子物理学 中的部分应用可见于非交换标准模型 与非交换量子场论 。在1997年推测非交换几何在M理论 中的作用后，物理学界对非交换几何突然非常高涨。[ 3]
阿兰·科纳 在技术层面处理非交换几何提出的部分理论源于更早的尝试，特别是遍历理论 。George Mackey提出了“虚子群”理论，遍历群作用 将成为一种推广的齐性空间 。
非交换C*-代数 的（形式）对偶，现在一般叫做非交换空间。这可以和盖尔范德表示 相类比，后者表明交换C*-代数与局部紧 豪斯多夫空间 对偶 。总的来说，可以给任何C*-代数S 关联一个拓扑空间Ŝ 。
由于σ-有限测度空间 和交换冯诺依曼代数 之间的对偶 ，非交换冯诺依曼代数 也被称为非交换测度空间 。
光滑黎曼流形 M是具有大量额外结构的拓扑空间。从其连续函数代数C (M )中，只能拓扑地复原M 。回复黎曼结构的代数不变量是三元谱 ，由M 上的光滑向量丛E 构造而来，如外部代数丛。E 的平方可积瓣的希尔伯特空间L 2 (M , E )带有用乘运算对C (M) 的表示，考虑L 2 (M , E )中的无界算子D ，其具有紧预解式（如符号算子），则只要f光滑，交换子[D , f ]就有界。一个深刻的定理[ 4] M 作为黎曼流形可以从这些数据中复原。
这表明，可将非交换黎曼流形定义为三元谱 (A , H , D )，由希尔伯特空间H 上C*-代数的表示A 、H 上的无界算子D 、使[D , a ]对A 的某个稠密子代数中所有a 都有界的紧预解式组成。对三元谱的研究非常活跃，已经构建了许多非交换流形的例子。
类比仿射概形 与交换环 的对偶 ，定义非交换仿射概形 范畴为结合酉环范畴的对偶。这与Zariski拓扑有类似之处，这样就可以把仿射概形推广到更一般的对象上。
此外，还有交换分次环的Cone与Proj的推广，模仿了塞尔 关于Proj的定理，即交换分次代数的Proj上的O模的准相干层范畴等价于有限长的分次模塞尔子范畴上局部化的环上的分次模范畴；当代数符合诺特定理时，相干层也有类似定理。迈克尔·阿廷 和J. J. Zhang将这个定理推广为非交换射影几何 的定义，[ 5]
射影概形的许多性质都延伸到这一领域。例如，亚廷和Zhang针对非交换射影范畴提出了著名的塞尔对偶 。[ 6]
A. L. Rosenberg创造了相当普遍的（在基范畴上的）非交换准紧概形 ，抽象化了格罗滕迪克关于概形态射、准相干范畴与平面局部化函子的研究。[ 7] 概形代数 。[ 8] [ 9]
非交换几何的一些激励性问题涉及将已知拓扑不变量 推广到非交换（算子）代数的形式对偶，以及非交换空间的其他代替物。阿兰·孔涅 在非交换几何方向的主要出发点之一是发现了非交换结合代数与非交换算子代数相关的新同调论，即循环同调 及其与K-理论的关系（主要通过孔涅-陈特征映射）。
利用算子K-理论 和循环上同调的工具，光滑流形的示性类 理论已经可以推广到三元谱。对现在的经典阿蒂亚-辛格指标定理 进行的一些推广，可以有效地从三元谱中提取数值不变式。循环上同调中的基本示性类，即所谓JLO上循环（JLO cocycle）是经典陈特征 （Chern character）的推广。
孔涅联络 是微分几何 中联络 的非交换推广，由阿兰·孔涅 提出，后来被Joachim Cuntz和丹尼尔·奎伦 推广。
给定右A 模E ，E 上的孔涅联络是线性映射
∇
:
E
→
E
⊗
A
Ω
1
A
{\displaystyle \nabla :E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A}
其满足乘积法则
∇
r
(
s
a
)
=
∇
r
(
s
)
a
+
s
⊗
d
a
{\displaystyle \nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da}
[ 11]
^ Connes, Alain; Douglas, Michael R; Schwarz, Albert. Noncommutative geometry and Matrix theory. Journal of High Energy Physics. 1998-02-05, 1998 (2): 003. Bibcode:1998JHEP...02..003C ISSN 1029-8479 S2CID 7562354 arXiv:hep-th/9711162 doi:10.1088/1126-6708/1998/02/003 ^ Connes, Alain. On the spectral characterization of manifolds. Journal of Noncommutative Geometry. 2013, 7 : 1–82. S2CID 17287100 arXiv:0810.2088 doi:10.4171/JNCG/108 ^ Artin, M.; Zhang, J.J. Noncommutative Projective Schemes. Advances in Mathematics . 1994, 109 (2): 228–287. ISSN 0001-8708 doi:10.1006/aima.1994.1087 ^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. Serre duality for noncommutative projective schemes. Proceedings of the American Mathematical Society (American Mathematical Society (AMS)). 1997-03-01, 125 (3): 697–708. ISSN 0002-9939 doi:10.1090/s0002-9939-97-03782-9 ^ A. L. Rosenberg, Noncommutative schemes, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, doi ; Underlying spaces of noncommutative schemes, preprint MPIM2003-111, dvi （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）, ps （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）; MSRI lecture Noncommutative schemes and spaces (Feb 2000): video （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
^ Freddy van Oystaeyen, Algebraic geometry for associative algebras, ISBN 0-8247-0424-X - New York: Dekker, 2000.- 287 p. - (Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, 232)
^ Van Oystaeyen, Fred; Willaert, Luc. Grothendieck topology, coherent sheaves and Serre's theorem for schematic algebras (PDF) . Journal of Pure and Applied Algebra (Elsevier BV). 1995, 104 (1): 109–122. ISSN 0022-4049 doi:10.1016/0022-4049(94)00118-3 hdl:10067/124190151162165141 ^ Snyder, Hartland S. Quantized Space-Time . Physical Review (American Physical Society (APS)). 1947-01-01, 71 (1): 38–41. Bibcode:1947PhRv...71...38S ISSN 0031-899X doi:10.1103/physrev.71.38 ^ Vale 2009 ，Definition 8.1.
Connes, Alain , Non-commutative geometry Academic Press , 1994, ISBN 978-0-12-185860-5 Connes, Alain ; Marcolli, Matilde , A walk in the noncommutative garden, An invitation to noncommutative geometry, World Sci. Publ., Hackensack, NJ: 1–128, 2008, Bibcode:2006math......1054C MR 2408150 arXiv:math/0601054 Connes, Alain ; Marcolli, Matilde , Noncommutative geometry, quantum fields and motives (PDF) , American Mathematical Society Colloquium Publications 55 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , 2008 [2023-10-02 ] , ISBN 978-0-8218-4210-2MR 2371808 存档 (PDF) 于2009-12-29） Gracia-Bondia, Jose M; Figueroa, Hector; Varilly, Joseph C, Elements of Non-commutative geometry, Birkhauser, 2000, ISBN 978-0-8176-4124-5 Khalkhali, Masoud; Marcolli, Matilde. Khalkhali, Masoud; Marcolli, Matilde , 编. An Invitation to non-Commutative Geometry . World Scientific. 2008 [2023-10-02 ] . ISBN 978-981-270-616-4doi:10.1142/6422 存档 于2023-02-10）. Landi, Giovanni, An introduction to noncommutative spaces and their geometries, Lecture Notes in Physics. New Series m: Monographs 51 , Berlin, New York: Springer-Verlag , 1997, Bibcode:1997hep.th....1078L ISBN 978-3-540-63509-3MR 1482228 arXiv:hep-th/9701078 Van Oystaeyen, Fred; Verschoren, Alain, Non-commutative algebraic geometry, Lecture Notes in Mathematics 887 , Springer-Verlag , 1981, ISBN 978-3-540-11153-5
Connes, Alain. C* algèbres et géométrie différentielle . C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A. 1980, 290 (13): 599–604 [2023-10-02 ] . （原始内容存档 于2023-05-27） （法语） . Connes, Alain. Non-commutative differential geometry . Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1985, 62 : 41–144 [2023-10-02 ] . ISSN 1618-1913 S2CID 122740195 doi:10.1007/BF02698807 存档 于2023-03-19） （英语） . Connes, Alain. Noncommutative Geometry. Academic Press. 1995. ISBN 978-0-08-057175-1 Cuntz, Joachim; Quillen, Daniel. Algebra Extensions and Nonsingularity . Journal of the American Mathematical Society. 1995, 8 (2): 251–289 [2023-10-02 ] . ISSN 0894-0347 JSTOR 2152819 doi:10.2307/2152819 存档 于2023-03-18）. García-Beltrán, Dennise; a-Beltrán, Dennise; Vallejo, José A.; Vorobjev, Yuriĭ. On Lie Algebroids and Poisson Algebras. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2012, 8 : 006. Bibcode:2012SIGMA...8..006G S2CID 5946411 arXiv:1106.1512 doi:10.3842/SIGMA.2012.006 * Vale, R. notes on quasi-free algebras (PDF) . 2009 [2023-10-02 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2023-03-26）.
Connections. Topics in Cyclic Theory. 2020: 201–228. ISBN 9781108855846doi:10.1017/9781108855846.009
Consani, Caterina ; Connes, Alain (编), Noncommutative geometry, arithmetic, and related topics. Proceedings of the 21st meeting of the Japan-U.S. Mathematics Institute (JAMI) held at Johns Hopkins University, Baltimore, MD, USA, March 23–26, 2009 , Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, 2011, ISBN 978-1-4214-0352-6Zbl 1245.00040 Grensing, Gerhard. Structural aspects of quantum field theory and noncommutative geometry. Hackensack New Jersey: World Scientific. 2013. ISBN 978-981-4472-69-2
提示：此条目的主题不是非阿貝爾幾何。
