Адваротная матрыца

Адваротная матрыца — такая матрыца A⁻¹, пры дамнажэнні на якую, зыходная матрыца A дае ў выніку адзінкавую матрыцу E:

${\displaystyle \!AA^{-1}=A^{-1}A=E.}$

Квадратная матрыца абарачальная тады і толькі тады, калі яна нявыраджаная, гэта значыць яе вызначнік не роўны нулю. Для неквадратных матрыц і выраджаных матрыц адваротных матрыц не існуе. Аднак магчыма абагульніць гэта паняцце і ўвесці псеўдаадваротныя матрыцы, падобныя на адваротныя па многіх уласцівасцях.

• ${\displaystyle \det A^{-1}={\frac {1}{\det A}},}$ дзе ${\displaystyle \det }$ абазначае вызначнік.
• ${\displaystyle \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ для любых дзвюх абарачальных матрыц ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$.
• ${\displaystyle \ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T},}$ дзе ${\displaystyle *^{T}}$ абазначае транспанаваную матрыцу.
• ${\displaystyle \ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}}$ для любога каэфіцыента ${\displaystyle k\not =0}$.
• Калі неабходна рашыць сістэму лінейных ураўненняў ${\displaystyle Ax=b}$, (b — ненулявы вектар) дзе ${\displaystyle x}$ — шуканы вектар, і калі ${\displaystyle A^{-1}}$ існуе, то ${\displaystyle x=A^{-1}b}$. У адваротным выпадку альбо размернасць прасторы рашэнняў большая за нуль, альбо іх няма зусім.

Гэты раздзел не завершаны. Вы дапаможаце праекту, выправіўшы і дапоўніўшы яго.

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$

Абарачэнне матрыцы 2х2 магчыма толькі пры ўмове, што ${\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}$.

Артыкулу нестае спасылак на крыніцы. Змест артыкулаў мусіць быць правяральным або іх могуць выдаліць. Вы можаце адрэдагаваць артыкул і дадаць спасылкі на аўтарытэтныя крыніцы.