Адзінкавая матрыца

Адзінкавая матрыца — квадратная матрыца, элементы галоўнай дыяганалі якой роўныя адзінцы поля, а астатнія роўныя нулю.

Квадратная матрыца ${\displaystyle E_{n}=(e_{ij})}$ памеру (парадку ${\displaystyle n}$), дзе ${\displaystyle e_{ii}=1}$ для ўсякага ${\displaystyle i\in {\overline {1,n}}}$ для ўсякіх ${\displaystyle i\neq j}$, называецца адзінкавай матрыцай парадку ${\displaystyle n}$.

Адзінкавую матрыцу можна вызначыць як матрыцу ${\displaystyle (e_{ij})}$, у якой ${\displaystyle e_{ij}=\delta _{ij}}$, де ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — сімвал Кронэкера.

Адзінкавая матрыца з’яўляецца частковым выпадкам скалярнай матрыцы.

Адзінкавая матрыца памеру ${\displaystyle n\times n}$ звычайна абазначаецца ${\displaystyle E_{n}}$ і мае выгляд:

${\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},}$

Гэтак жа выкарыстоўваецца і іншае пазначэнне: ${\displaystyle I_{n}}$.

Калі з кантэксту ясна, якога памеру матрыца, то ніжні індэкс (які паказвае парадак) апускаецца: ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle I}$.

• Здабытак любой матрыцы і адзінкавай матрыцы падыходнага памеру роўны самой матрыцы:

${\displaystyle AE=EA=A}$

• Квадратная матрыца ў нулявой ступені дае адзінкавую матрыцу таго ж памеру:

${\displaystyle A^{0}=E}$

• Пры памнажэнні матрыцы на адваротную ёй таксама атрымліваецца адзінкавая матрыца:

${\displaystyle \!AA^{-1}=E}$

• Адзінкавая матрыца атрымліваецца пры памнажэнні артаганальнай матрыцы на яе транспанаваную матрыцу:

${\displaystyle AA^{T}=E}$

• Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:

${\displaystyle \mathrm {det} \,E=1}$.

Адзінкавыя матрыцы першых парадкаў маюць выгляд

${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Калі ўзяць дзве матрыцы — матрыцу ${\displaystyle A}$ і адзінкавую ${\displaystyle E}$ — то, прывядзеннем матрыцы ${\displaystyle A}$ да адзінкавай метадам Гауса, можна дамагчыся адначасовага прывядзення матрыцы ${\displaystyle E}$ да матрыцы ${\displaystyle A^{-1}}$ наступным чынам: неабходна вырабляць над адзінкавай матрыцай тыя ж пераўтварэнні, якія вырабляюцца пры прывядзенні ${\displaystyle A}$ да адзінкавай. Матрыца, атрыманая з адзінкавай матрыцы ${\displaystyle E}$ будзе роўная ${\displaystyle A^{-1}}$.

• Нулявая матрыца

Для паляпшэння артыкула пажадана Знайсці і дадаць спасылкі на аўтарытэтныя крыніцы, якія пацвярджаюць напісанае Перакласці тэкст з іншай мовы на беларускую.