Дзялімасць

Дзялі́масць — адно з асноўных паняццяў арыфметыкі і тэорыі лікаў, звязанае з аперацыяй дзялення. З пункту погляду тэорыі мностваў, дзялімасць цэлых лікаў з'яўляецца дачыненнем, вызначаным на мностве цэлых лікаў.

Калі для некаторага цэлага ліку ${\displaystyle a}$ і цэлага ліку ${\displaystyle b}$ існуе такі цэлы лік ${\displaystyle q}$, што ${\displaystyle bq=a,}$ то кажуць, што лік ${\displaystyle a}$ дзеліцца цалкам (ці дзеліцца без астачы) на ${\displaystyle b}$ або што ${\displaystyle b}$ дзеліць ${\displaystyle a.}$

Пры гэтым лік ${\displaystyle b}$ называецца дзельнікам ліку ${\displaystyle a}$, дзеліва ${\displaystyle a}$ будзе кратным ліку ${\displaystyle b}$, а лік q называецца дзеллю ад дзялення a на b.

Хоць уласцівасць дзялімасці вызначана на ўсём мностве цэлых лікаў, звычайна разглядаецца толькі дзялімасць натуральных лікаў. У прыватнасці, функцыя колькасці дзельнікаў натуральнага ліку падлічвае толькі яго дадатныя дзельнікі.

• Запіс ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ абазначае, што ${\displaystyle a}$ дзеліцца на ${\displaystyle b}$, ці, што тое самае, лік ${\displaystyle a}$ кратны ліку ${\displaystyle b}$.
• Запіс ${\displaystyle b\mid a}$ ці ${\displaystyle b\setminus a}$ абазначае^[1], што ${\displaystyle b}$ дзеліць ${\displaystyle a}$, ці, што тое ж: ${\displaystyle b}$ — дзельнік ${\displaystyle a}$.

• У кожнага натуральнага ліку, большага за адзінку, ёсць прынамсі два натуральныя дзельнікі: адзінка і сам гэты лік. Пры гэтым натуральныя лікі, у якіх роўна два дзельнікі, называюцца простымі, а тыя, у якіх больш за два дзельнікі — састаўнымі. Адзінка мае роўна адзін дзельнік і не з'яўляецца ні простым, ні састаўным лікам.
• У кожнага натуральнага ліку, большага за 1, ёсць хоць адзін просты дзельнік.
• Уласным дзельнікам ліку называецца ўсякі яго дзельнік, не роўны самому ліку. У простых лікаў ёсць роўна адзін уласны дзельнік — адзінка.
• Незалежна ад дзялімасці цэлага ліку ${\displaystyle a}$ на цэлы лік ${\displaystyle b\neq 0}$, лік a заўсёды можна падзяліць на b з астачаю, г. зн. прадставіць у выглядзе:

  ${\displaystyle a=b\,q+r,}$

  дзе ${\displaystyle 0\leq r<|b|}$.

У гэтых суадносінах лік ${\displaystyle q}$ называецца няпоўнаю дзеллю, а лік r — астачаю ад дзялення ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$. Як дзель, так і астача вызначаюцца адназначна.

Лік a дзеліцца цалкам на b тады і толькі тады, калі астача ад дзялення a на b роўная нулю.

• Усякі лік, які дзеліць як ${\displaystyle a}$, так і ${\displaystyle b}$, называецца іх агульным дзельнікам; найбольшы з такіх лікаў называецца найбольшым агульным дзельнікам. Любая пара цэлых лікаў мае сама менш два агульныя дзельнікі: +1 і -1. Калі іншых агульных дзельнікаў няма, то гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.

Заўвага: ва ўсіх формулах гэтага раздзела мяркуецца, што a, b, c — цэлыя лікі.

• Любы цэлы лік з'яўляецца дзельнікам нуля, і дзель роўная нулю:

${\displaystyle 0\,\vdots \,a.}$

• Любы цэлы лік дзеліцца на адзінку:

${\displaystyle a\,\vdots \,1.}$

• На нуль дзеліцца толькі нуль:

${\displaystyle a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0}$,

прычым дзель у гэтым выпадку не вызначана.

• Адзінка дзеліцца толькі на адзінку:

${\displaystyle 1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.}$

• Для любога цэлага ліку ${\displaystyle a\neq 0}$ знойдзецца такі цэлы лік ${\displaystyle b\neq a,}$ для якога ${\displaystyle b\,\vdots \,a.}$
• Калі ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ і ${\displaystyle \left|b\right|>\left|a\right|,}$ то ${\displaystyle a\,=\,0.}$ Адсюль жа вынікае, што калі ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ і ${\displaystyle a\neq 0}$ то ${\displaystyle \left|a\right|\geq \left|b\right|.}$
• Для таго каб ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ неабходна і дастаткова, каб ${\displaystyle \left|a\right|\vdots \left|b\right|.}$
• Калі ${\displaystyle a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,}$ то ${\displaystyle \left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.}$
• Уласцівасць дзялімасці з'яўляецца дачыненнем нястрогага парадку і, адпаведна, яно:
  • рэфлексіўнае, г. зн. любы цэлы лік дзеліцца на сябе: ${\displaystyle \quad a\,\vdots \,a.}$
  • транзітыўнае, г. зн. калі ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ і ${\displaystyle b\,\vdots \,c,}$ то ${\displaystyle a\,\vdots \,c.}$
  • антысіметрычнае, г. зн. калі ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ і ${\displaystyle b\,\vdots \,a,}$ то альбо ${\displaystyle a\,=\,b,}$ альбо ${\displaystyle a\,=\,-b.}$

Лік дадатных дзельнікаў натуральнага ліку ${\displaystyle n}$ звычайна абазначаецца ${\displaystyle \tau (n)}$ і з'яўляецца мультыплікатыўнаю функцыяй, для яе справядліва асімптатычная формула Дзірыхле:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right),}$

дзе ${\displaystyle \gamma }$ — пастаянная Эйлера — Маскероні, а для ${\displaystyle \theta }$ Дзірыхле атрымаў значэнне ${\displaystyle {\frac {1}{2}}.}$ Гэты вынік неаднаразова паляпшаўся, і на сёння найлепшы вядомы вынік ${\displaystyle \theta ={\frac {131}{416}}}$ (атрыман у 2003 годзе Хакслі). Аднак, найменшае значэнне ${\displaystyle \theta }$, пры якім гэта формула застаецца вернаю, невядома (даказана, што яно не меншае, чым ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$)^[2][3][4].

Пры гэтым сярэдні дзельнік вялікага ліку n у сярэднім расце як ${\displaystyle {\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}}$, што было выяўлена А. Карацубам^[5]. Паводле камп'ютарных ацэнак М. Каралёва

${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0,7138067}$.

Паняцце дзялімасці абагульняецца на адвольныя колцы, напрыклад колца мнагачленаў.

• Дзяленне з астачай
• Прыкметы дзялімасці
• Дзяленне
• Параўнанне па модулю
• Колца
• Фактарызацыя

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6. Архівавана 18 ліпеня 2020.

• Відэа пра дзялімасць