Магутнасць мноства

Магутнасць мноства, кардынальны лік мноства (лац. cardinalis ← cardo «стрыжань; асяродак») — характарыстыка мностваў (у тым ліку бясконцых), якая абагульняе паняцце колькасці (лічбы) элементаў канечнага мноства.

У аснове гэтага паняцця ляжаць натуральныя прадстаўленні аб параўнанні мностваў:

1. Любыя два мноствы, паміж элементамі якіх можа быць выяўлена ўзаемна-адназначная адпаведнасць (біекцыя), змяшчаюць аднолькавую колькасць элементаў (маюць аднолькавую магутнасць).
2. Наадварот: мноствы, роўныя па магутнасці, павінны мець такую ўзаемна-адназначную адпаведнасць.
3. Частка мноства не перавышае поўнага мноства па магутнасці (гэта значыць па колькасці элементаў).

Да пабудавання тэорыі магутнасці мностваў мноства адрозніваліся па прыкметам: пустое/непустое і канечнае/бясконцае, таксама канечныя мноствы адрозніваліся па колькасці элементаў. Бясконцыя ж мноства нельга было параўновываць.

Магутнасць мностваў дазваляе параўновываць бясконцыя мноствы. Напрыклад, злічальныя мноствы з'яўляюцца самымі «маленькімі» бясконцымі мноствамі.

Магутнасць мноства ${\displaystyle A}$ пазначаецца праз ${\displaystyle |A|}$. Часам сустракаюцца абазначэнні ${\displaystyle {\overline {\overline {A}}}}$, ${\displaystyle \#A}$ і ${\displaystyle \mathrm {card} (A)}$.

Пры выконванні аксіёмы выбару магутнасць мноства фармальна азначаецца як мінімальны парадкавы лік ${\displaystyle \alpha }$, пры каторым між ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \alpha }$ можна выявіць біектыўную адпаведнасць. Дадзенае азначэнне таксама называецца размеркаваннем кардынальных лікаў па фон Нэйману. 

Фармальны парадак сярод кардынальных лікаў уводзіцца наступным вобразам: ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ азначае, што мноства ${\displaystyle X}$ можна ін'ектыўна адлюстраваць на ${\displaystyle Y}$. Згодна з тэарэмай Кантара — Бярнштэйна, з двух няроўнасцей ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ і ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$ вынікае, што ${\displaystyle |X|=|Y|}$. Аксіёма выбару эквівалентная сцвярджэнню аб тым, што для любых мностваў ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ выконваецца прынамсі адно з няроўнасцей ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ або ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$.

• Магутнасць мноства натуральных лікаў ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ пазначаецца сімвалам ${\displaystyle \aleph _{0}}$ («алеф-нуль»). Мноства называецца бясконцым, калі яго магутнасць ${\displaystyle \geqslant \aleph _{0}}$ (не менш магутнасці мноства натуральных лікаў), такім вобразам, злічальныя мноствы — гэта «самыя маленькія» з бясконцых мностваў. Наступныя кардынальныя лікі ў парадку нарастання пазначаюцца ${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1}},\dots }$ (дзе індэкс прабягае усё парадкавыя лікі). Сярод кардынальных лікаў няма найбольшага: для любога мноства кардынальных лікаў існуе кардынальны лік, большы за ўсе элементы гэтага мноства.

• Пра мноствы, раўнамагутныя мноству ўсіх рэчаісных лікаў, кажуць, што яны маюць магутнасць кантынуума, і магутнасць такіх мностваў пазначаецца сімвалам ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ . Меркаванне аб тым, што ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$, называецца кантынуум-гіпотэзай.

• Мноства называецца канечным, калі яно раўнамагутна адрэзку натуральнага шэрага ${\displaystyle I_{n}=\{1,2...,n\}}$ пры некаторым неадмоўным цэлым ${\displaystyle n}$. Лік ${\displaystyle n}$ абазначае колькасць элементаў канечнага мноства. Пры ${\displaystyle n=0}$ мноства не змяшчае элементаў (пустое мноства). Калі ${\displaystyle n<m}$, то не існуе ін'ектыўнага адлюстравання з ${\displaystyle I_{m}}$ у ${\displaystyle I_{n}}$ (прынцып Дырыхле), а значыць, не існуе і біекцыі між імі. Таму мноства ${\displaystyle I_{m}}$ і ${\displaystyle I_{n}}$ маюць розную магутнасць.

• Мноства называецца злічальным, калі яно раўнамагутна мноству ўсіх натуральных лікаў ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Злічальнымі мноствамі з'яўляюцца:
  • Мноства ${\displaystyle \mathbb {N} \setminus I_{k}}$ пры любым натуральным ${\displaystyle k}$. Адпаведнасць: ${\displaystyle n\rightarrow n+k}$. 
  • Мноства ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$. Адпаведнасць: ${\displaystyle n\rightarrow n-1}$.
  • Мноства цэлых лікаў ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Адпаведнасць атрымоўваецца пры супастаўленні складнікаў шэрага ${\displaystyle 0+1-2+3-4+5-6+...}$  яго частковымі сумам (складнікі шэрага бяруцца без учоту знака).
  • Мноства пар натуральных лікаў ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$.
  • Мноства рацыянальных лікаў ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ін'ектыўна адлюстроўваецца у мноства ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {N} }$ (нескарачальнаму дробу ${\displaystyle p/q}$ выгляду адпавядае пара лікаў ${\displaystyle (p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} }$. Таму мноства рацыянальных лікаў не больш, за злічальнае. Але паколькі яно змяшчае мноства натуральных лікаў, то яно і не менш, за злічальнае. Па тэарэме Кантара-Бярнштэйна яно злічальнае.

• Бясконцыя мноствы, нераўнамагутныя мноству ${\displaystyle \mathbb {N} }$, называюцца незлічальнымі. Па тэарэме Кантара незлічальным з'яўляецца мноства бясконцых паслядоўнасцей, састаўленых з лічб 0 і 1. Магутнасць гэтага мноства называется кантынуум.

• Магутнасць мноства ${\displaystyle \mathbb {R} }$ рэчаісных лікаў роўна кантынууму.

• Два канечных мноства раўнамагутныя тады і толькі тады, калі яны складаюцца з аднолькавай лічбы элементаў. Гэта значыць што для канечнага мноства паняцце магутнасці супадае з звычайным паняццем колькасці.
• Для бясконцых мностваў магутнасць мноства можа супадаць з магутнасцю свайго ўласнага падмноства, напрыклад ${\displaystyle |{\mathbb {N} }|=|\mathbb {Z} |}$.
• Больш таго, мноства бясконца тады і толькі тады, калі яно змяшчае раўнамагутнае ўласнае (гэта значыць яно не супадае з асноўным мноствам) падмноства.
• Тэарэма Кантара гарантуе існаванне больш магутнага мноства за любое дадзенае: Мноства ўсіх падмноств мноства A мае большую моцнасць, чым А, іначай кажучы ${\displaystyle |2^{A}|>|A|}$.
• З дапамогай кантарава квадрата можна таксама даказаць наступнае прыдатнае сцвярджэнне: дэкартаў  здабытак бясконцага мноства A з самім сабой раўнамагутны A.

• Ефимов Б. А. Множеств теория // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз. Стл. 758-760.
• Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.