Табліца вытворных

Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.

Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.

• Ступеневае правіла: няхай ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, тады для любога рэчаіснага паказніка n праўдзіцца роўнасць

  ${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.}$

• Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай:

  калі функцыя f ёсць ста́лаю функцыяй (г. зн. для любых x значэнне функцыі аднолькавае і роўнае f(x) = c, дзе c некаторы нязменны лік), то яе вытворная f′ ёсць тоесным нулём:

  ${\displaystyle (c)'=0.}$

• Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:

  ${\displaystyle (a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})'=na_{n}x^{n-1}+\dots +2a_{2}x+a_{1}.}$

• Вытворная модуля

  ${\displaystyle (|x|)'={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0.}$

• Вытворная паказнікавай функцыі:

  ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}$

• Вытворная паказнікавай функцыі з асновай b:

  ${\displaystyle (b^{x})'={b^{x}\ln b},\qquad b>0.}$

• Вытворная натуральнага лагарыфма:

  ${\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}.}$

• Вытворная лагарыфма з асноваю b:

  ${\displaystyle (\log _{b}x)'={\frac {1}{x\ln b}},\qquad b>0,\quad b\neq 1.}$

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad |x|<1}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad |x|<1}$
${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x=1+\operatorname {tg} ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {arctg} x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}\,}$
${\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x=-(1+\operatorname {ctg} ^{2}x)}$	${\displaystyle (\operatorname {arcctg} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle (\sec x)'=\sec x\cdot \operatorname {tg} x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad |x|>1}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cdot \operatorname {ctg} x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}},\qquad |x|>1}$

${\displaystyle (\operatorname {sh} x)'=\operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsh} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {ch} x)'=\operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arch} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1}$
${\displaystyle (\operatorname {th} x)'={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}=\operatorname {sech} ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {arth} x)'={\frac {1}{1-x^{2}}},\qquad |x|<1}$
${\displaystyle (\operatorname {cth} x)'=-{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcth} x)'={\frac {1}{1-x^{2}}},\qquad |x|>1}$
${\displaystyle (\operatorname {sech} x)'=-\operatorname {th} x\cdot \operatorname {sech} x}$	${\displaystyle (\operatorname {arsech} x)'=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},\qquad 0<x<1}$
${\displaystyle (\operatorname {csch} x)'=-\operatorname {cth} x\cdot \operatorname {csch} x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsch} x)'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$

Для любых дыферэнцавальных функцый f і g і любых сталых a і b вытворная функцыі h(x) = af(x) + bg(x) па зменнай x раўняецца

${\displaystyle (af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x).}$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

Адмысловыя выпадкі:

• Вытворная здабытку функцыі і сталай велічыні:

${\displaystyle (af)'=af'.}$

• Вытворная суммы:

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'.}$

• Вытворная рознасці:

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$

Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый f і g можна вылічыць па формуле

${\displaystyle (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

• Вытворная функцыі h(x) = 1/f(x) для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі f раўняецца

  ${\displaystyle \left({\frac {1}{f(x)}}\right)'=-{\frac {f'(x)}{[f(x)]^{2}}}.}$

  Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:

  ${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$

• Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго g ≠ 0, тады:

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}.}$

Вытворная складанай функцыі h(x) = f(g(x)) па зменнай x раўняецца

${\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x).}$

У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$

Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы h як функцыю ад фармальнага аргумента g:

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}.}$

Калі дыферэнцавальная функцыя f ма́е адваротную функцыю g (г.зн. праўдзяцца тоеснасці g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), тады

${\displaystyle g'(x)={\frac {1}{f'(g(x))}}.}$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.

Няхай f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго f > 0, тады

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(g{\frac {f'}{f}}+g'\ln f\right).}$

Адмысловыя выпадкі:

• Калі f(x) = x^a, атрымліваем f′(x) = ax^{a − 1} для любых рэчаісных паказнікаў a і любога дадатнага значэння зменнай x.
• Калі g(x) = −1, формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.

• Вытворная функцыі

• Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.