Тэарэма Ліувіля аб захаванні фазавага аб’ёму

Тэарэма Ліўвіля, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа Ліувіля, з'яўляецца адной з ключавых тэарэм у матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліувіля абвяшчае

Функцыя размеркавання^[ru] гамільтанавай сістэмы пастаянная ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.

Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці імавернасці ў фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці імавернасці) гамільтанавай сістэмы ў ${\displaystyle 6N}$-мернай фазавай прасторы (${\displaystyle N}$ — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанаву сістэму з каардынатамі ${\displaystyle q_{i}}$ і спалучанымі імпульсамі ${\displaystyle p_{i}}$, дзе ${\displaystyle i=1,\dots ,d}$, ${\displaystyle d=3N}$. Тады размеркаванне ў фазавай прасторы ${\displaystyle \rho (p_{i},q_{i})}$ вызначае імавернасць ${\displaystyle \rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p}$ таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму ${\displaystyle \mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p}$ сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ${\displaystyle \rho (p_{i},q_{i};t)}$ ў часе ${\displaystyle t}$ паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам несціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0.}$

Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.}$

Просты доказ тэарэмы заключаецца ў назіранні, што эвалюцыя ${\displaystyle \rho }$ вызначаецца ўраўненнем неразрыўнасці:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \,\mathrm {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \,\mathrm {grad} \rho =0,}$

дзе ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — скорасць перамяшчэння разглядаемага аб'ёму фазавай прасторы:

${\displaystyle \nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)}$

і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ўраўненнем Ліувіля вызначаецца толькі складнікам, які апісвае дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці імавернасці:

${\displaystyle \rho \,\mathrm {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0,}$

дзе ${\displaystyle H}$ — гамільтаніян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці ${\displaystyle d\rho /dt}$ роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення неразрыўнасці, бо поле скарасцей ${\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})}$ у фазавай прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам — ${\displaystyle p_{i}}$ — але сціскаецца па іншай каардынаце ${\displaystyle q_{i}}$ так, што здабытак ${\displaystyle \Delta p_{i}\Delta q_{i}}$ застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём ${\displaystyle \Gamma }$ захоўваецца пры зрухах часу. Калі

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,}$

і ${\displaystyle \Gamma (t)}$ мноства кропак фазавай прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства ${\displaystyle \Gamma }$ у момант часу ${\displaystyle t}$, тады

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C,}$

для ўсіх часоў ${\displaystyle t}$. Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:

${\displaystyle N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)}$

(нарміровачны множнік апушчаны). У найпрасцейшым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыяльных сіл ${\displaystyle \mathbf {F} }$ з каардынатамі ${\displaystyle \mathbf {x} }$ і імпульсамі ${\displaystyle \mathbf {p} }$, тэарэму Ліувіля можна запісаць у выглядзе

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,}$

дзе ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}}$ — скорасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца ўраўненнем Уласава^[ru] і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікую колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў самаўзгодненым полі^[ru] сіл ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц ${\displaystyle N}$ вялікі, парадку ліку Авагадра. У стацыянарным выпадку ${\displaystyle \partial \rho /\partial t=0}$ можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання ${\displaystyle \rho }$ роўная любой функцыі гамільтаніяна ${\displaystyle H}$, напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана ${\displaystyle \rho \propto e^{-H/kT}}$, дзе ${\displaystyle T}$ — тэмпература, ${\displaystyle k}$ — пастаянная Больцмана.

Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах ${\displaystyle (q^{i},p_{j})}$ выгляд

${\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}\right),}$

ураўненне Ліувіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\,\rho ,H\,\}.}$

Пры дапамозе аператара Ліувіля

${\displaystyle i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right],}$

для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+i{\hat {L}}\rho =0.}$