Тэнзар напружанняў

Тэнзар напружанняў^[1][2] — тэнзар другога рангу, які складаецца з дзевяці велічынь, якія прадстаўляюць механічныя напружанні ў адвольнай кропцы нагружанага цела. У дэкартавай сістэме каардынат гэтыя дзевяць велічынь запісваюцца ў выглядзе табліцы, у якой па галоўнай дыяганалі стаяць нармальныя складнікі вектараў напружанняў на трох узаемна перпендыкулярных пляцоўках, што праходзяць праз разгляданую кропку асяроддзя, а ў астатніх пазіцыях — датычныя кампаненты вектараў напружанняў на гэтых пляцоўках.

Кампаненты тэнзара напружанняў ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ у дэкартавай сістэме каардынат ${\displaystyle Ox_{i}}$ уводзяць наступным чынам. Разглядаюць бесканечна малы аб’ём цела ў выглядзе прамавугольнага паралелепіпеда, грані якога артаганальныя каардынатным восям і маюць плошчы ${\displaystyle dS_{i}}$. На кожнай грані ${\displaystyle dS_{i}}$ паралелепіпеда дзейнічаюць паверхневыя сілы ${\displaystyle dF_{i}}$. Калі пазначыць праекцыі гэтых сіл на восі ${\displaystyle Ox_{j}}$ як ${\displaystyle dF_{ij}}$, то кампанентамі тэнзара напружанняў называюць адносіну праекцый сілы да велічыні плошчы грані, на якой дзейнічае гэта сіла:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {dF_{ij}}{dS_{i}}}.}$

Па індэксе ${\displaystyle i}$ тут падсумоўвання няма. Кампаненты ${\displaystyle \sigma _{11}}$, ${\displaystyle \sigma _{22}}$, ${\displaystyle \sigma _{33}}$, якія абазначаюцца таксама як ${\displaystyle \sigma _{xx}}$, ${\displaystyle \sigma _{yy}}$, ${\displaystyle \sigma _{zz}}$, — гэта нармальныя напружанні, яны ўяўляюць сабой адносіну праекцыі сілы ${\displaystyle dF_{i}}$ на нармаль да плошчы разгляданай грані ${\displaystyle dS_{i}}$:

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {dF_{11}}{dS_{1}}}.}$

Кампаненты ${\displaystyle \sigma _{12}}$, ${\displaystyle \sigma _{23}}$, ${\displaystyle \sigma _{31}}$, якія абазначаюцца таксама як ${\displaystyle \tau _{xy}}$, ${\displaystyle \tau _{yz}}$, ${\displaystyle \tau _{zx}}$, — гэта датычныя напружанні, яны ўяўляюць сабой адносіну праекцыі сілы на напрамкі, датычныя да плошчы разгляданай грані ${\displaystyle dS_{i}}$:

${\displaystyle \sigma _{12}={\frac {dF_{12}}{dS_{1}}}.}$

Пры адсутнасці ўласнага моманту імпульсу суцэльнага асяроддзя, а таксама аб’ёмных і паверхневых пар тэнзар напружанняў сіметрычны. Гэта вынікае з ураўнення балансу моманту імпульсу. У прыватнасці, тэнзар напружанняў сіметрычны ў класічнай тэорыі пругкасці і гідрадынаміцы ідэальнай і лінейна-глейкай вадкасцей.

• Тэорыя пластычнасці
• Тэорыя пругкасці
• Тэнзар дэфармацыі
• Тэнзар пругкасці
• Закон Гука