Характарыстыка кальца

Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік n, такі што складанне n адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. Калі такога дадатнага ліку няма, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.

Гэта значыць, што характарыстыка кальца R (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента x з кальца R справядліва роўнасць

${\displaystyle \underbrace {x+\cdots +x} _{n}=0.}$

Характарыстыка кальца R абазначаецца як char R.

Няхай ${\displaystyle R}$ — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік ${\displaystyle n}$, што для любога элемента ${\displaystyle r\in R}$ выконваецца роўнасць

${\displaystyle n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0,}$

то найменшы з такіх лікаў ${\displaystyle n}$ называецца характарыстыкай кальца ${\displaystyle R}$ і абазначаецца сімвалам ${\displaystyle \operatorname {char} R}$. Пры гэтым кальцо ${\displaystyle R}$ называецца кальцом дадатнай характарыстыкі ${\displaystyle \operatorname {char} R}$.

Калі ж такіх лікаў ${\displaystyle n}$ няма, то лічаць ${\displaystyle \operatorname {char} R=0}$ і называюць ${\displaystyle R}$ кальцом характарыстыкі нуль.

У выпадку, калі кальцо ${\displaystyle R}$ змяшчае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік n, такі што

${\displaystyle n\cdot 1=0,}$

калі ж такога n няма, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.

• Характарыстыкі кальца цэлых лікаў ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, поля рацыянальных лікаў ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, поля рэчаісных лікаў ${\displaystyle \mathbb {R} }$, поля камплексных лікаў ${\displaystyle \mathbb {C} }$ роўныя нулю.
• Характарыстыка кальца вылікаў ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ роўная ${\displaystyle n}$.
• Характарыстыка канечнага поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$ (дзе ${\displaystyle p}$ — просты лік, ${\displaystyle m}$ — натуральны лік) раўняецца ${\displaystyle p}$.

• Калі кальцо ${\displaystyle R\neq \{0\}}$ з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку ${\displaystyle n}$, то яна з’яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля ${\displaystyle K}$ ёсть альбо ${\displaystyle 0}$, альбо просты лік ${\displaystyle p}$. У першым выпадку поле ${\displaystyle K}$ змяшчае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, у другім выпадку поле ${\displaystyle K}$ змяшчае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у ${\displaystyle K}$).
• Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ і алгебраічнае замыканне поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.
• Калі ${\displaystyle R}$ — камутатыўнае кальцо простай характарыстыкі ${\displaystyle p}$, то

  ${\displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}}$

для ўсіх ${\displaystyle a,b\in R}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Для такіх кольцаў можна вызначыць эндамарфізм Фрабеніуса  (руск.) (бел..

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.