コブ＝ダグラス型関数

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コブ＝ダグラス型関数（こぶ＝だぐらすがたかんすう、英: The Cobb–Douglas function）とは、投入要素間の代替の弾力性が1である生産関数や効用関数のこと^[1]。チャールズ・コブ（英語版）とポール・ダグラスによって提示され、実証的な妥当性について検証された^[1]。

ポール・ダグラスは、彼が資本と労働の生産との関連について研究していた1927年に初めてコブ＝ダグラス型関数の定式化に至ったと説明している^[2]。彼は数学者やチャールズ・コブと相談し、${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{\beta }}$の関数形を用いることになった。この関数形はクヌート・ヴィクセル、フィリップ・ウィックスティード、レオン・ワルラスなどに既に用いられていたことも述べている^[2][3]。クヌート・ヴィクセルが1926年に逝去して間もなく、ポール・ダグラスとチャールズ・コブはコブ＝ダグラス型関数の生産者理論への応用を試みる^{[4][注 1]}。その後、コブ＝ダグラス型関数はポール・サミュエルソンやロバート・ソローなどの経済学者に盛んに用いられるようになる^[5]。国レベルのマクロ生産関数を推定する分析手法は広く経済学研究で用いられ、ミクロ経済学的側面からマクロ経済学を分析する研究手法の先駆けとなった^[6]。

2生産要素のコブ＝ダグラス型生産関数は、

${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{\beta }}$

のように書ける。ただし、

• Y = 総生産量（通常は1年の総生産量）
• K = 資本ストック
• L = 労働投入量
• A = 全要素生産性
• αとβはパラメーター

である。要素分配率は生産の投入に対する弾力性とも解釈できる。例えば、α = 0.45であれば、資本ストックが1％上昇すると生産が0.45％上昇するということである。また、

• ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$のとき、規模に関して収穫一定
• ${\displaystyle \alpha +\beta >1}$のとき、規模に関して収穫逓増
• ${\displaystyle \alpha +\beta <1}$のとき、規模に関して収穫逓減

となる^[7][7]。完全競争で${\displaystyle \alpha +\beta =1}$のとき、${\displaystyle \alpha }$は資本分配率、${\displaystyle \beta }$は労働分配率と解釈できる。

2生産要素以上のコブ＝ダグラス型生産関数は以下のように書ける^[8]。

${\displaystyle Y=A\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}}$

ただし

• Aは全要素生産性
• Nは生産要素の数
• X₁, ..., X_Nは投入量
• ${\displaystyle \alpha _{i}}$は生産要素iの弾力性パラメーター

である。

表 話 編 歴 ミクロ経済学
分野	価格理論 ゲーム理論 契約理論 メカニズム・デザイン 社会選択理論 厚生経済学
価格理論	基本 配分 希少性 機会費用 凸性（英語版） 弾力性 弾力性 代替の弾力性 供給の価格弾力性（英語版） 需要の価格弾力性 需要の所得弾力性 交差弾力性 関数の弾力性（英語版） 弧弾力性（英語版） 財 財 代替財 補完財 独立財 ギッフェン財 ヴェブレン財 通常財 上級財 正常財 必需品 奢侈財 下級財（英語版） 自由財 関数形 コブ＝ダグラス型関数 CES型関数 準線形効用関数 線形効用関数（英語版） レオンチェフ型関数 エプスタイン–ジン型選好 トランスログ型関数（英語版） ゴーマン極形型（英語版） 斉次函数 定理/補題 シェパードの補題（英語版） マッケンジーの補題 包絡線定理 ホテリングの補題（英語版） ロワの恒等式 効用 局所非飽和（英語版） 期待効用 危険回避 等弾力的効用関数（英語版） 序数的効用（英語版） 基数的効用（英語版） 市場 完全競争 不完全競争 独占 自然独占 独占的競争 複占 寡占 モノプソニー 消費者 家計 需要の法則（英語版） 選好関係 効用関数 間接効用関数（英語版） 需要関数 マーシャル型需要関数（英語版） ヒックス型需要関数（英語版） 支出関数（英語版） スルツキー方程式 無差別曲線 限界代替率 異時点間選択（英語版） 予算集合（英語版） 効用最大化 ラグランジュの未定乗数法 生産者 企業 生産集合（英語版） 生産可能性フロンティア 生産関数 等量曲線 限界変形率 規模に関する収穫（英語版） 費用最小化 費用関数 可変費用 固定費用 埋没費用 限界費用 平均費用（英語版） 供給関数（英語版） 規模の経済 範囲の経済 利潤最大化 均衡 エッジワース・ボックス・ダイアグラム 契約曲線（英語版） 需要と供給 均衡 一般均衡 部分均衡 パレート効率性 分析 社会的余剰 消費者余剰 生産者余剰 死荷重 厚生経済学の基本定理 ニュメレール（英語版） 等価変分（英語版） 補償変分（英語版） 失敗 市場の失敗 非対称情報 外部性 公共財
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関連分野	数理経済学 計算機経済学（英語版） 行動経済学 マクロ経済学のミクロ的基礎付け（英語版） 計量経済学 実験経済学 産業組織論 オペレーションズ・リサーチ 最適化理論 解析学 位相幾何学
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