無限算術級数

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数学における無限算術級数（むげんさんじゅつきゅうすう、英: infinite arithmetic series）は、その項が算術数列を成す無限級数を言う。1 + 1 + 1 + 1 + · · · や 1 + 2 + 3 + 4 + · · · はその例であるが、無限算術級数の一般形は $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(an+b)}$$ と書ける。a = b = 0 のときは級数の和も 0 であるが、a, b のどちらかが非零ならば、級数は発散して通常の意味では和を持たない。

正しい形 (the right form) での算術級数のゼータ正則化和は、対応するフルヴィッツゼータ函数の値として $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+\beta )=\zeta _{\text{H}}(-1;\beta )}$$ で与えられる^{[注釈 1]}。ゼータ正則化和 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ は ζ_R(0) = −1/2 に、また 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ は ζ_R(−1) = −1/12 に（ゼータとしてはリーマンゼータ函数 ζ_R をとって）割り当てられるけれども、上記の和が ${\textstyle -{\frac {1}{12}}-{\frac {\beta }{2}}}$ に等しいとは一般にはならない。

• Brevik, I.; Nielsen, H. B. (February 1990). “Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 41 (4): 1185–1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185. 
• Elizalde, E. (May 1994). “Zeta-function regularization is uniquely defined and well”. Journal of Physics A: Mathematical and General 27 (9): L299–L304. doi:10.1088/0305-4470/27/9/010.  (arXiv preprint)
• Li, Xinzhou; Shi, Xin; Zhang, Jianzu (July 1991). “Generalized Riemann ζ-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 44 (2): 560–562. doi:10.1103/PhysRevD.44.560. 

• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

表 話 編 歴 級数・数列
等差数列	発散級数 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 無限算術級数
等比数列	収束級数 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 発散級数 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ グランディ級数
整数列	オンライン整数列大辞典のリスト 階乗 フィボナッチ数 リュカ数 ペル数 ペラン数 パドヴァン数列 三角数 五角数 六角数 七角数 八角数 九角数 十角数 多角数 平方数 立方数
その他の数列	発散級数 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 調和級数 収束級数 交項級数 幾何級数 超幾何級数 q超幾何級数 ライプニッツの公式
数列の加速法	エイトケンのΔ2乗加速法
カテゴリ:級数・カテゴリ:数列

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