QR法

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "QR法" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2021年1月)

QR法（きゅーあーるほう、QR algorithm）は、行列Aの固有値を求める方法^[1]の一つで、行列のQR分解を利用する反復計算法である。QR法は数値解析的に安定なアルゴリズムである。

行列Aの次数をnとする。

まず

${\displaystyle A_{1}=A}$

とおく。以下、

${\displaystyle A_{k}=Q_{k}R_{k}}$

${\displaystyle A_{k+1}=R_{k}Q_{k}\left(=Q_{k}^{-1}A_{k}Q_{k}\right)}$

${\displaystyle (k=1,2,\cdots ,m)}$

と繰り返す。この繰り返し手順は相似変換であるため、行列A₁の固有値と行列A_kの固有値はすべて一致する （ただし、固有ベクトルは必ずしも一致しない）。したがって、固有ベクトルを求める必要があれば、行列A_m+1の固有値を求めた後、 行列Aに戻って各固有値に対応する固有ベクトルをそれぞれ求めなければならない。

行列Aが対称行列である場合、 相似変換後に得られる行列A_m+1は 三重対角行列となる。

上記の素朴な手順では、A_kが収束するまで繰り返すQR分解の回数が多くなりやすい。 このため、上記の繰り返しの手順を

${\displaystyle A_{k}-\mu _{k}I=Q_{k}R_{k}}$

${\displaystyle A_{k+1}=R_{k}Q_{k}+\mu _{k}I\left(=Q_{k}^{-1}AQ_{k}\right)}$

${\displaystyle (k=1,2,\cdots ,m)}$

と置き換えて、QR分解の回数を減らすことを狙う。 このような手順を原点移動付きQR法という。

シフト量μ_kの選びかたとして、A_kの右下隅の2×2小行列の2つの固有値のうちで、 A_kの右下隅の値に近いものを選択する方法がよく用いられる（ウィルキンソンのシフト）。

これまでにQR法について行なわれた研究や計算法の改良は多く、それらすべてを簡潔に紹介することは不可能である。 最近（2025年）の和書であれば、文献^[2] およびそれに挙げられている参考文献などを参照されたい。

• QR分解

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則
カテゴリ