결합 구조

기하학에서 결합 구조(結合構造, 영어: incidence structure)는 두 집합 및 그 사이의 어떤 이항 관계로 구성된 수학적 구조이다. 일부 경우, 이는 각각 점과 직선으로 이루어진 기하계로 해석될 수 있다.

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 집합 ${\displaystyle X}$. 그 원소를 점(點, 영어: point)이라고 한다.
• 집합 ${\displaystyle L}$. 그 원소를 직선(直線, 영어: line)이라고 한다.
• 부분 집합 ${\displaystyle \vartriangleleft \subseteq X\times L}$. 만약 ${\displaystyle (x,l)\in \vartriangleleft }$라면 이를 ${\displaystyle x\vartriangleleft l}$ 또는 ${\displaystyle l\vartriangleright x}$로 표기하고, ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle l}$과 결합한다(結合-, 영어: incident)고 한다. (이 이항 관계는 ${\displaystyle x\,{\mathsf {I}}\,l}$ 또는 ${\displaystyle x\in l}$ 등으로 표기되기도 한다.)

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$에서, 부분 집합

${\displaystyle X'\subseteq X}$

${\displaystyle L'\subseteq L}$

이 주어졌을 때, ${\displaystyle (X',L',\vartriangleleft \upharpoonright X'\times L')}$를 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$의 부분 결합 구조(部分結合構造, 영어: incidence substructure)라고 한다.

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 균등 결합 구조(均等結合構造, 영어: uniform incidence structure)라고 한다.

• 임의의 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle |\{l\in L\colon x\vartriangleleft l\}|=|\{l\in L\colon y\vartriangleleft l\}|}$이다.

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 정칙 결합 구조(正則結合構造, 영어: regular incidence structure)라고 한다.

• 임의의 두 직선 ${\displaystyle l,m\in L}$에 대하여, ${\displaystyle |\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}|=|\{x\in X\colon x\vartriangleleft m\}|}$이다.

이 두 개념은 서로 쌍대이다. 즉, 균등 결합 구조의 쌍대 결합 구조는 정칙 결합 구조이며, 그 역도 성립한다.

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 준선형 공간(準線形空間, 영어: partial linear space)이라고 한다.

• (A) 임의의 서로 다른 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\vartriangleleft l\vartriangleright y}$인 직선 ${\displaystyle l\in L}$이 적어도 하나 이상 존재한다.
• (B) 임의의 직선 ${\displaystyle l\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\vartriangleleft l\vartriangleright y}$인 서로 다른 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$이 항상 존재한다.

다음 조건을 만족시키는 준선형 공간 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$을 선형 공간(線形空間, 영어: linear space)이라고 한다.

• (A′) 임의의 서로 다른 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\vartriangleleft l\vartriangleright y}$인 직선 ${\displaystyle l\in L}$이 유일하게 존재한다.

결합 구조 ${\displaystyle P=(X,L,\vartriangleleft )}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle (L,X,\vartriangleright )}$, 즉

• ${\displaystyle P}$의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
• ${\displaystyle P}$의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
• ${\displaystyle P}$에서 결합하는 점과 직선은 결합하는 직선과 점에 대응되는

결합 구조를 구성할 수 있다. 이를 ${\displaystyle P}$의 쌍대 결합 구조(雙對結合構造, 영어: dual incidence structure)이라고 한다.

스스로의 쌍대와 동형인 결합 구조를 자기 쌍대 결합 구조(自己雙對結合構造, 영어: self-dual incidence structure)라고 한다.

만약 ${\displaystyle P}$가 사영 평면이라면 그 쌍대 결합 구조 역시 사영 평면이다.

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$가 주어졌으며, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle L}$이 둘 다 유한 집합이라고 하자. ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle L}$ 위에 각각 임의의 전순서를 부여하여

${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}\}}$

${\displaystyle L=\{l_{1},l_{2},\dotsc ,l_{n}\}}$

로 적자. 그렇다면, 다음과 같은 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬을 정의할 수 있으며, 이를 결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$의 결합 행렬(結合行列, 영어: incidence matrix)이라고 한다.

${\displaystyle M_{ij}={\begin{cases}1&x_{i}\vartriangleleft l_{j}\\0&x_{i}\not \vartriangleleft l_{j}\end{cases}}}$

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$가 주어졌을 때, 다음과 같은, 검은색 및 흰색의 그래프 색칠을 갖는 이분 그래프를 정의할 수 있다.

• 검은 꼭짓점은 점(${\displaystyle X}$의 각 원소)에 대응한다.
• 흰 꼭짓점은 직선(${\displaystyle L}$의 각 원소)에 대응한다.
• 검은 꼭짓점 ${\displaystyle x\in X}$ 및 흰 꼭짓점 ${\displaystyle l\in L}$ 사이에 변이 있을 필요 충분 조건은 ${\displaystyle x\vartriangleleft l}$인지 여부이다.

이를 결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$의 레비 그래프(영어: Levi graph)라고 한다.

임의의 집합 ${\displaystyle X}$에 대하여, ${\displaystyle L=\varnothing }$으로 정의하면, 유일한 결합 구조 ${\displaystyle (X,\varnothing ,\varnothing )}$를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다.

마찬가지로, 임의의 집합 ${\displaystyle L}$에 대하여, ${\displaystyle X=\varnothing }$으로 정의하면, 유일한 결합 구조 ${\displaystyle (\varnothing ,L,\varnothing )}$를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 점이 존재하지 않는다.

 이 부분의 본문은 그래프입니다.

임의의 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$가 주어졌을 때,

• 점을 ${\displaystyle \Gamma }$의 꼭짓점으로 삼으며,
• 직선을 ${\displaystyle \Gamma }$의 변으로 삼으며,
• 결합 관계를 변이 꼭짓점을 끝점으로 갖는지 여부로 삼는

결합 구조 ${\displaystyle (\operatorname {V} (\Gamma ),\operatorname {E} (\Gamma ),\vartriangleleft )}$를 정의할 수 있다.

2 이상의 정수 ${\displaystyle n\geq 2}$가 주어졌다고 하자. 집합

${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}}$

${\displaystyle L=\{l_{1},l_{2},\dotsc ,l_{n}\}}$

위에, 다음과 같은 결합 관계를 주자.

${\displaystyle x_{i}\vartriangleleft l_{j}\iff j-i\equiv 0,1{\pmod {n}}}$

이 결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$를 ${\displaystyle n}$각형(${\displaystyle n}$角形, 영어: ${\displaystyle n}$-gon)이라고 한다.

특히, 만약 ${\displaystyle n\geq 3}$일 경우 이는 길이 ${\displaystyle n}$의 순환 그래프에 대응하는 결합 구조이다.

 이 부분의 본문은 블록 설계입니다.

임의의 블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$가 주어졌을 때,

• 점을 ${\displaystyle X}$의 원소로 삼으며,
• 직선을 블록(즉, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 원소)으로 삼으며,
• 결합 관계를 점이 블록의 원소인지 여부로 삼는

결합 구조 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\in )}$를 정의할 수 있다.

 이 부분의 본문은 사영 평면입니다.

사영 평면은 특별한 균등 정칙 결합 구조이다.

 이 부분의 본문은 리만 다양체입니다.

임의의 리만 다양체 ${\displaystyle (X,g)}$가 주어졌을 때,

• 점을 ${\displaystyle X}$의 원소로 삼으며,
• 직선을 ${\displaystyle (X,g)}$의 (확장 불가능) 측지선으로 삼으며,
• 결합 관계를 점이 측지선에 속하는지 여부로 삼는

결합 구조를 정의할 수 있다.

 이 부분의 본문은 일반화 다각형입니다.

일반화 다각형은 사영 평면의 일반화이며, 특별한 종류의 준선형 공간이다.

“레비 그래프”라는 용어는 독일의 수학자 프리드리히 빌헬름 다니엘 레비(독일어: Friedrich Wilhelm Daniel Levi, 1888~1966)의 이름을 딴 것이다.

• 추상다포체

• Dembowski, Peter (1968). 《Finite geometries》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 44. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61786-8. MR 0233275. 
• Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). 《Configurations from a graphical viewpoint》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4. 

• “Incidence system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Incidence matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Configuration”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incidence matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incidence graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Synthetic geometry”. 《nLab》 (영어).