그로텐디크 스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 그로텐디크 스펙트럼 열(Grothendieck spectrum列, 영어: Grothendieck spectral sequence)은 두 왼쪽 완전 함자의 합성 함자의 오른쪽 유도 함자를 각 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자들로 나타내는 스펙트럼 열이다. 즉, 유도 함자에 대한 일종의 연쇄 법칙이다.

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$ 사이의 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$-풍성한 왼쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle F}$-비순환 대상(영어: acyclic object)은 다음 조건을 만족시키는 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$이다.

${\displaystyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \operatorname {R} ^{i}F(A)=0}$

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}},{\mathcal {C}}}$
• 왼쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
• ${\displaystyle F}$는 ${\displaystyle F}$-비순환 대상을 ${\displaystyle G}$-비순환 대상으로 대응시킨다.
• ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle F}$-비순환 대상들로의 분해를 갖는다.

그렇다면, ${\displaystyle A}$에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 ${\displaystyle E_{\bullet }^{\bullet \bullet }}$은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.

${\displaystyle E_{2}^{pq}=(\operatorname {R} ^{p}G\circ \operatorname {R} ^{q}F)(A)}$

이 스펙트럼 열은 합성 함자의 ${\displaystyle G\circ F}$의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.

${\displaystyle E_{2}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {R} ^{p+q}(G\circ F)(A)}$

그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle F(A)}$의 단사 분해에 의존한다.

유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환

${\displaystyle \operatorname {R} (G\circ F)\Rightarrow \operatorname {R} G\circ \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {C}})}$

이 존재한다.^{[1]:59, Proposition I.5.4} 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.^[1]:60

함자 ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to (\operatorname {R} ^{1}G\circ F)(A)\to (\operatorname {R} ^{1}(G\circ F))(A)\to (G\circ \operatorname {R} ^{1}F)(A)\to (\operatorname {R} ^{2}G\circ F)(A)\to (\operatorname {R} ^{2}(G\circ F))(A)}$

 이 부분의 본문은 르레 스펙트럼 열입니다.

르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.^[2][3]

${\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab} }$

여기서 ${\displaystyle f_{*}}$는 위상 공간 사이의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 의하여 유도되는 층의 직상이며, ${\displaystyle \Gamma _{X}}$는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\{\bullet \},\operatorname {Ab} )\simeq \operatorname {Ab} }$로의 직상)이다. 층의 직상 ${\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )}$은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} }$

${\displaystyle f^{*}\dashv f_{*}}$

을 가지므로, 직상 ${\displaystyle f_{*}}$은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 두 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}{\xrightarrow {\hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)}}\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab} }$

이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.^{[4]:Théorème II.7.3.3}

${\displaystyle E_{2}^{p,q}({\mathcal {G}})=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{q}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}}))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\Gamma _{X}({\mathcal {O}}_{X})}^{p+q}\left(\Gamma _{X}({\mathcal {F}}),\Gamma _{X}({\mathcal {G}})\right)}$

여기서

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{q}(F,-)=\operatorname {R} ^{q}\hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)}$

는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)}$ 함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) ${\displaystyle \operatorname {Ext} }$는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

가환환 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 및 환 준동형 ${\displaystyle f\colon R\to S}$ 및 ${\displaystyle S}$ 위의 가군 ${\displaystyle N}$이 주어졌다고 하자.

그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}{\xrightarrow {\otimes _{R}S}}\operatorname {Mod} _{S}{\xrightarrow {\otimes _{S}N}}\operatorname {Mod} _{S}}$

이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환(영어: base change)을 계산한다. 즉, ${\displaystyle R}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.

${\displaystyle E_{2}^{p,q}(M)=\operatorname {Tor} _{p}^{S}(\operatorname {Tor} _{q}^{R}(M,S),N)\Rightarrow \operatorname {Tor} _{p+q}^{R}(M,N)}$

만약 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle R}$-평탄 가군이라면,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{R}(M,S)={\begin{cases}M\otimes _{R}S&q=0\\0&q>0\end{cases}}}$

이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{S}(M\otimes _{R}S,N)\cong \operatorname {Tor} _{p}^{R}(M,N)}$

군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열(영어: Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence)^[5][6] 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군 ${\displaystyle G}$와 정규 부분군 ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$ 및 ${\displaystyle G}$-가군 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} [G]}{\xrightarrow {(-)^{N}}}\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} [G/N]}{\xrightarrow {(-)^{G/N}}}\operatorname {Ab} }$

여기서 ${\displaystyle (-)^{N}}$은 ${\displaystyle N}$의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다. 이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이라고 하며, 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(G/N;\operatorname {H} ^{q}(N,M))\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(G;M)}$

이에 대응하는 5항 완전열은 팽창-제한 완전열(영어: inflation–restriction exact sequence)이라고 하며, 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to \operatorname {H} ^{1}(G/N;M^{N})\to \operatorname {H} ^{1}(G;M)\to \operatorname {H} ^{1}(N;M)^{G/N}\to \operatorname {H} ^{2}(G/N;M^{N})\to \operatorname {H} ^{2}(G;M)}$

여기서 "팽창"은

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G/N;M)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(G/N;M)}$

이며, "제한"은

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;M)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(N;M)^{G/M}}$

이다.

1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다.^[2][3] 1948년에 로저 코넌트 린던(영어: Roger Conant Lyndon)^[5]은 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르^[6]는 이를 개량하였다. 이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문^[7]에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

• “Grothendieck spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Base change spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Hochschild-Serre spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “The Grothendieck spectral sequence”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2010년 3월 11일. 2014년 7월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 21일에 확인함. 
• “Derived functors versus spectral sequences” (영어). Math Overflow.