대칭군 (군론)

수학에서 대칭군(對稱群, 영어: symmetric group)은 주어진 원소들을 재배열하는 방법(순열)들로 구성된 군이다. 순열군(順列群, 영어: permutation group) 또는 치환군(置換群)은 대칭군의 부분군을 뜻한다.

집합 ${\displaystyle X}$의 대칭군은 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle X}$로 가는 모든 전단사 함수의 집합에 군 구조를 준 것으로, 기호로는 ${\displaystyle S_{X}}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$로 표기한다. 이 때, 군 연산은 함수의 합성이다. 즉, 두 함수 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$를 합성하여 새로운 전단사 함수 ${\displaystyle f\circ g}$를 얻을 수 있다. 이 때, ${\displaystyle f\circ g}$는 ${\displaystyle X}$의 모든 원소 x에 대해 ${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$로 정의한다. 이 연산과 함께 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 ${\displaystyle fg}$로 쓸 수도 있다.

특별히 중요하게 다루어지는 것은 유한 집합 ${\displaystyle X=\{1,\cdots ,n\}}$의 경우이다. 이 집합의 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (\{1,\cdots ,n\})}$를 간단히 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$으로 표기한다. ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$의 원소들을 ${\displaystyle X}$의 순열이라 한다.

n개 원소에 대한 대칭군의 표시는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\cong \langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2}=(\sigma _{i}\sigma _{j})^{2}=(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1\qquad (j\neq i\pm 1)\rangle }$

여기서 ${\displaystyle \sigma _{i}}$는 순열 ${\displaystyle (i,i+1)}$에 대응한다.

n개 원소에 대한 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$은 크기가 ${\displaystyle n!}$인 유한군이다. 무한 대칭군의 경우, 크기가 ${\displaystyle \kappa }$인 집합 위의 대칭군의 크기는

${\displaystyle |\operatorname {Sym} (\kappa )|=\kappa ^{\kappa }}$

이다.

대칭군은 오직 ${\displaystyle n\leq 2}$인 경우에만 아벨 군이며, 오직 ${\displaystyle n\leq 4}$일 경우에만 가해군이다. 이것이 아벨-루피니 정리(5차 이상의 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 없음)의 기본적인 이유이다.

대칭군의 두 순열 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in \operatorname {Sym} (n)}$이 같은 켤레류에 속할 필요충분조건은 두 순열의 순환(영어: cycle) 구조가 같다는 것이다. 즉, 두 순열이 같은 수의 순환들로 구성되고, 각 순환들의 길이가 같을 때 서로 같은 켤레류에 속한다.

대칭군의 낮은 차수의 군 호몰로지는 다음과 같다. 군의 정수 계수 1차 호몰로지는 그 아벨화와 같으며, 대칭군의 아벨화는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(\operatorname {Sym} (n),\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\operatorname {Cyc} (2)&n\geq 2\end{cases}}}$

군의 정수 계수 2차 호몰로지는 그 슈어 승수(영어: Schur multiplier)의 군과 같으며, 대칭군의 경우 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{2}(\operatorname {Sym} (n),\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\operatorname {Cyc} (2)&n\geq 4\end{cases}}}$

대칭군의 자기 동형군과 중심은 다음과 같다.

n	${\displaystyle \operatorname {Aut} (\operatorname {Sym} (n))}$	${\displaystyle \operatorname {Out} (\operatorname {Sym} (n))}$	${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Sym} (n))}$
${\displaystyle n\neq 2,6}$	${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$	1	1
${\displaystyle n=2}$	1	1	${\displaystyle \operatorname {Sym} (2)}$
${\displaystyle n=6}$	${\displaystyle \operatorname {Sym} (6)\rtimes \operatorname {Cyc} (2)}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$	1

대칭군은 수학의 다양한 분야에 등장한다. 갈루아 이론에서, n차 대칭군은 일반적 n차 다항식의 갈루아 군이다. 리 군의 이론에서, n차 대칭군은 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ 및 특수선형군 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n+1,\mathbb {C} )=A_{n}}$의 바일 군이며, 슈어 함자(영어: Schur functor)에 따라 특수선형군의 기약표현들은 대칭군의 기약표현과 대응한다. 또한, 대칭군은 콕서터 군 ${\displaystyle A_{n}}$과 같다.

낮은 차수의 대칭군은 다음과 같다.

대칭군	다른 이름
Sym(0)	1 (자명군)
Sym(1)	1 (자명군)
Sym(2)	${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ (2차 순환군)
Sym(3)	Dih(6) (정이면체군), ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2;\mathbb {F} _{2})}$ (2차 유한체에 대한 2×2 사영일반선형군)
Sym(4)	${\displaystyle \operatorname {PGL} (2;\mathbb {F} _{3})}$ (3차 유한체에 대한 2×2 사영일반선형군)

• 스테인하우스-존슨-트로터 알고리즘

• “Symmetric group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmetric group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Symmetric group”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Contrasting symmetric groups of various degrees”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group on finite set”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group of prime degree”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group of prime power degree”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group:S3”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group:S4”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group:S5”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group:S6”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group:S7”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group:S8”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group:S9”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Symmetric group:S10”. 《Groupprops》 (영어). 
• 이철희. “대칭군 (symmetric group)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “대칭군의 표현론”. 《수학노트》.