전단사 함수

수학에서 전단사 함수(全單射函數, 영어: bijection, bijective function)는 두 집합 사이를 중복 없이 모두 일대일로 대응시키는 함수이다. 일대일 대응(一對一對應, 영어: one-to-one correspondence)이라고도 한다.

두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전단사 함수라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)=y}$인 유일한 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다.
• 전사 함수이며 단사 함수이다.
• 집합의 범주에서의 동형 사상이다. 즉, ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}$, ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$인 함수 ${\displaystyle g\colon Y\to X}$가 존재한다. 이러한 ${\displaystyle g}$를 ${\displaystyle f}$의 역함수라고 한다.

두 집합 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이에 전단사 함수가 존재한다면, ${\displaystyle X}$의 집합의 크기와 ${\displaystyle Y}$의 집합의 크기는 같다.

크기가 같은 두 유한 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 단사 함수이거나 전사 함수라면, 항상 전단사 함수이다. 그러나 이는 무한 집합에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$, ${\displaystyle n\mapsto n+1}$은 단사 함수이지만 전사 함수가 아니다.)

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 전단사 함수 ${\displaystyle X\to X}$들의 집합은 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$라는 군을 이루며, 이는 집합의 범주에서의 자기 동형군이다.

유한 집합 ${\displaystyle X}$ 위에서, 집합 ${\displaystyle Y}$로 가는 전단사 함수의 수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{cases}|X|!&|X|=|Y|\\0&|X|\neq |Y|\end{cases}}}$

• 칸토어-베른슈타인 정리

• “Bijection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bijection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.