라이스너-노르드스트룀 계량

라이스너-노르드스트룀 계량(영어: Reissner–Nordström metric, RN)은 구면대칭 전하에 대한 아인슈타인 방정식의 해다.

편의상 ${\displaystyle c=1}$로 놓자. 라이스너-노르드스트룀 계량은 다음과 같다.

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

${\displaystyle A_{t}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

여기서

${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$

이고, ${\displaystyle M}$은 블랙홀의 질량, ${\displaystyle Q}$는 블랙홀의 전하이다. 전하가 0일 경우 RN 계량은 슈바르츠실트 계량이 된다.

RN 계량에서는 두 개의 지평선이 존재한다. 좌표로 쓰면

${\displaystyle r_{\pm }=GM\pm {\sqrt {G^{2}M^{2}-GQ^{2}/4\pi \epsilon _{0}}}}$

이다. 겉의 것은 사건 지평선이고, 안의 것은 코시 지평선이다. 전하가

${\displaystyle |Q|={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}M}$

일 때, 두 개의 지평선은 겹친다. 이 경우를 극대 블랙홀이라 한다. 이는

${\displaystyle |Q|/M={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}=24.3\;\mathrm {pC/kg} =152\,e/\mathrm {mg} }$

일 경우이다.

${\displaystyle |Q|>{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}M}$이면 시공간에 벌거숭이 특이점이 발생한다. 로저 펜로즈의 우주 검열 가설에 따르면, 이러한 블랙홀은 자연계에 존재하지 않는 것으로 여겨진다.

편의상 ${\displaystyle 1=c=\epsilon _{0}=8\pi G}$로 놓자. 임의의 ${\displaystyle d>3}$차원의 민코프스키 공간 속에서 라이스너-노르드스트룀 계량이 존재한다. 그 계량은 다음과 같다.^[1]:265

${\displaystyle ds^{2}=-H(r)^{-2}W(r)dt^{2}+H^{2/(d-3)}\left(W(r)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{(d-2)}^{2}\right)}$

${\displaystyle A_{0}(r)=\alpha (H^{-1}(r)-1)}$

${\displaystyle H(r)=1-{\frac {\omega }{\left(1-{\frac {d-3}{2(d-2)\alpha ^{2}}}\right)r^{d-3}}}}$

${\displaystyle W(r)=1-\omega /r^{d-3}}$

여기서 상수 ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \omega }$는 블랙홀의 질량 ${\displaystyle M}$ 및 전하 ${\displaystyle Q}$와 다음과 같은 관계를 갖는다.

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{(d-3)\operatorname {vol} (S^{d-2})}}{\frac {Q}{(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})M+\omega /2}}}$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})}}{\sqrt {M^{2}-{\frac {d-2}{d-3}}Q^{2}}}}$

여기서

${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{d-2})={\frac {(d+1)\pi ^{(d+1)/2}}{\Gamma ((d+3)/2)}}}$

은 ${\displaystyle d-2}$차원 단위 초구의 넓이다.

고차원 라이스터-노르드스트룀 해의 사건 지평선은

${\displaystyle r={\sqrt[{d-3}]{\omega }}}$

에 위치한다. 벌거숭이 특이점이 아닐 조건은 다음과 같다.^[1]:(8.228)

${\displaystyle |Q|/M\leq {\sqrt {8\pi G\epsilon _{0}\cdot {\frac {d-3}{d-2}}}}}$

슈바르츠실트 계량이 발견된 직후에 독일의 항공우주공학자 한스 야코프 라이스너(독일어: Hans Jacob Reissner)와 핀란드의 물리학자 군나르 노르드스트룀, 독일의 수학자 헤르만 바일^[2], 영국의 수리물리학자 조지 바커 제프리^[3]가 각각 독립적으로 발견하였다.

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