멱영 리 대수

리 군론에서, 멱영 리 대수(冪零Lie代數, 영어: nilpotent Lie algebra)는 유한한 길이의 내림 중심렬을 갖는 리 대수이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 내림 중심렬(-中心列, 영어: lower central series)은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}=[{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}]}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supseteq {\mathfrak {g}}_{1}\supseteq {\mathfrak {g}}_{2}\supseteq \cdots }$

만약 어떤 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=0}$이라면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$를 멱영 리 대수라고 한다. (${\displaystyle 0}$은 유일한 0차원 리 대수이다.) 즉, 다음 명제가 성립하는 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$이 존재해야 한다.

${\displaystyle [x_{1},[x_{2},[x_{3},\dotsb [x_{n},y]\dotsb ]]]=0\qquad \forall x_{1},\dotsc ,x_{n},y\in {\mathfrak {g}}}$

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 엥겔 조건 리 대수(영어: Engel condition Lie algebra)라고 하자.

${\displaystyle \overbrace {[x,[x,[x,\dotsb [x} ^{n(x,y)},y]\dotsb ]]]=0\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}}$가 되는 함수 ${\displaystyle n\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재한다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$라고 하자. 리 군 ${\displaystyle G}$의 리 대수가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$라고 할 때, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[1]:105

• 항등원을 포함하는 연결 성분 ${\displaystyle G_{0}\subseteq G}$은 (군으로서) 멱영군이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 멱영 리 대수이다.

멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이다.

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${\displaystyle K}$-아벨 리 대수 ⊆ ${\displaystyle K}$-멱영 리 대수 ⊆ ${\displaystyle K}$-가해 리 대수 ⊆ ${\displaystyle K}$-리 대수

${\displaystyle K}$-멱영 리 대수 ⊆ ${\displaystyle K}$-엥겔 조건 리 대수 ⊆ ${\displaystyle K}$-리 대수

엥겔 정리에 따르면, (임의의 표수의) 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 엥겔 조건 리 대수는 항상 멱영 리 대수이다.^{[1]:46, Theorem 1.35}

멱영 리 대수의 모든 부분 리 대수는 멱영 리 대수이다. 멱영 리 대수의 모든 몫 리 대수 역시 멱영 리 대수이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 다음과 같은 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬들의 집합을 생각하자.

${\displaystyle {\mathfrak {n}}(n;K)=\{M\in \operatorname {gl} (n;K)\colon \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}\colon i\geq j\implies M_{i,j}=0\}}$

즉, 대각 성분이 0인 상삼각 행렬의 집합이다. 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;K)}$의 부분 리 대수를 이루며, 또한 멱영 리 대수이다. 구체적으로, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}(n;K)}$의 ${\displaystyle n}$번째 내림 중심열은 0이다. 엥겔 정리에 따라서, 모든 멱영 리 대수는 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대한 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}(n;K)}$의 부분 리 대수로 나타낼 수 있다.

엥겔 정리는 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 1890년 7월 20일 빌헬름 킬링에게 보낸 편지에서 대략적으로 증명하였다. 이후 엥겔의 제자 카를 아르투어 움라우프(독일어: Karl Arthur Umlauf)가 1891년 박사 학위 논문에서 이 정의의 완전한 증명을 제시하였다.^[2]

• “Lie algebra, nilpotent”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie algebra, nil”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie group, nilpotent”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nilpotent Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nilpotent Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebra lower central series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

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