가해 리 대수

리 군론에서 가해 리 대수(可解Lie代數, 영어: solvable Lie algebra)는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.

정의

가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.

일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다.
실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군이 가해군인 것이다.

유도열을 통한 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 유도열(誘導列, 영어: derived series)은 다음과 같다.

{\mathfrak {g}}={\mathcal {D}}^{0}{\mathfrak {g}}

{\mathcal {D}}^{i+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathcal {D}}^{i}{\mathfrak {g}},{\mathcal {D}}^{i}{\mathfrak {g}}]

{\mathfrak {g}}={\mathcal {D}}^{0}{\mathfrak {g}}\supseteq {\mathcal {D}}^{1}{\mathfrak {g}}\supseteq {\mathcal {D}}^{2}{\mathfrak {g}}\supseteq \cdots

만약 어떤 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여 ${\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0$ 이라면, ${\mathfrak {g}}$ 를 가해 리 대수라고 한다.^[1]^:31 ( $0$ 는 유일한 0차원 리 대수이다.)

리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 극대 부분 리 대수는 보렐 부분 대수(영어: Borel subalgebra)라고 한다. 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 최대 리 대수 아이디얼은 근기라고 한다. (보렐 부분 대수는 일반적으로 유일하지 않지만, 근기는 항상 유일하다.)

표현론을 통한 정의

표수 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

${\mathfrak {g}}$ 는 가해 리 대수이다.
${\mathfrak {g}}$ 의 딸림표현 $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subseteq {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)$ 는 가해 리 대수이다.
$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 는 멱영 리 대수이다.^[1]^{:Proposition 1.39}
(카르탕 가해성 조건 영어: Cartan’s criterion for solvability) ${\mathfrak {g}}$ 의 킬링 형식 $B$ 가 주어졌을 때, $B({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0$ 이다.

리 군 이론을 통한 정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 라고 하자. 그렇다면, 유한 차원 $\mathbb {K}$ -리 대수의 경우 가해성은 다음과 같이 정의될 수 있다.

유한 차원 $\mathbb {K}$ -리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

${\mathfrak {g}}$ 를 리 대수로 갖는 (유일한) 단일 연결 리 군 $G$ 는 (군으로서) 가해군이다.
$G_{0}=G$ 이며, $G_{i+1}=\operatorname {cl} ([G_{i},G_{i}])$ 라고 하자. 여기서 $\operatorname {cl}$ 은 위상수학적 폐포를 뜻한다. 그렇다면 이 열은 유한하다. 즉, $G_{i}$ 가 한원소 집합인 자연수 $i$ 가 존재한다.
${\mathfrak {g}}$ 는 가해 리 대수이다.

이 경우, 위와 같이 "폐포를 취한 유도열"은 리 대수의 유도열에 대응한다.

연결 리 군이 아닌 리 군 $G$ 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$G$ 의 연결 성분 $G_{0}$ 는 (군으로서) 가해군이다.
$G$ 의 리 대수 $\operatorname {Lie} (G)$ 는 가해 리 대수이다.

성질

함의 관계

임의의 가환환 $K$ 에 대하여, 다음 포함 관계가 (정의에 따라) 성립한다.

K

-아벨 리 대수 ⊆

K

-멱영 리 대수 ⊆

K

-가해 리 대수 ⊆

K

-리 대수

연산에 대한 닫힘

리 대수의 짧은 완전열

0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}\to 0

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

${\mathfrak {g}}$ 가 가해 리 대수이다.
${\mathfrak {a}}$ 와 ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ 가 둘 다 가해 리 대수이다.

증명 ( ${\mathfrak {g}}$ 가해 ⇒ ${\mathfrak {a}}$ , ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ 가해):

${\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0$ 이라고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0$ 이며, 또한 자연스러운 전사 함수

0={\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow {\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})

에 따라 ${\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})=0$ 이다.

증명 ( ${\mathfrak {a}}$ , ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ 가해 ⇒ ${\mathfrak {g}}$ 가해):

충분히 큰 자연수 $m,n\in \mathbb {N}$ 에 대하여

{\mathcal {D}}^{m}({\mathfrak {a}})={\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})=0

라고 하자. 그렇다면,

{\mathcal {D}}^{n}({\mathcal {g}})\subseteq {\mathfrak {a}}

이므로,

{\mathcal {D}}^{m+n}({\mathcal {g}})\subseteq {\mathcal {D}}^{m}{\mathcal {a}}=0

이다.

즉,

가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.

분류

리 정리(영어: Lie’s theorem)에 따르면, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰 $n$ 에 대하여 ${\mathfrak {b}}(n;K)$ 의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)

예

체 $K$ 에 대하여, ${\mathfrak {b}}(n;K)$ 가 모든 $n\times n$ 상삼각 행렬로 구성된 리 대수라고 하자. 이는 가해 리 대수를 이룬다.

역사

리 정리는 소푸스 리가 1876년에 증명하였다.^[2]

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformationsgruppen (Abhandlung Ⅱ)”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 1: 152–193.

외부 링크

“Lie algebra, solvable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Lie group, solvable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Lie theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “LieAlgebraCommutatorSeries”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Mathew, Akhil (2009년 7월 26일). “Lie's Theorem I”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2017년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 21일에 확인함.
Mathew, Akhil (2009년 7월 27일). “Lie's Theorem II”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2017년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 21일에 확인함.