바이어슈트라스 M-판정법

해석학에서 바이어슈트라스 M-판정법(영어: Weierstrass M-test)은 함수항 급수가 균등 수렴할 충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.^[1]

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

집합 ${\displaystyle S}$ 및 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon S\to \mathbb {K} }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )}$이 존재한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle |f_{n}(s)|\leq M_{n}}$
• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty }$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$는 균등 수렴한다.

보다 일반적으로, 집합 ${\displaystyle S}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )}$ 및 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon S\to X}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )}$이 존재한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \Vert f_{n}(s)\Vert \leq M_{n}}$
• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty }$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$는 균등 수렴한다.

다음과 같은 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$)을 생각하자.

${\displaystyle f_{n}\colon x\mapsto x^{2}\exp(-nx)}$

그렇다면

${\displaystyle f_{n}'(x)=x\exp(-nx)(2-nx)}$

이므로 각 ${\displaystyle f_{n}}$은 ${\displaystyle \textstyle x={\frac {2}{n}}}$에서 최댓값 ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {2}{n}}\right)^{2}\exp(-2)}$을 가진다. ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty }$이므로, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$은 균등 수렴한다.

카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

• 균등 수렴

• Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크): 148.