모형 범주

호모토피 이론에서 모형 범주(模型範疇, 영어: model category)는 호모토피 이론을 전개할 수 있기에 충분한 구조가 갖추어져 있는 추상적인 범주이다.^[1][2][3][4] 위상 공간의 범주와 단체 집합의 범주, 아벨 군의 사슬 복합체의 범주 따위의 일반화이다.

모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {W}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들의 모임이다. ${\displaystyle {\mathfrak {W}}}$의 원소를 약한 동치(영어: weak equivalence)라고 한다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들의 모임이다. ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$의 원소를 올뭉치(영어: fibration)라고 하고, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\cap {\mathfrak {W}}}$의 원소는 자명한 올뭉치(영어: trivial fibration)라고 한다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들의 모임이다. ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$의 원소를 쌍대올뭉치(영어: cofibration)라고 하고, ${\displaystyle {\mathfrak {C}}\cap {\mathfrak {W}}}$의 원소는 자명한 쌍대올뭉치(영어: trivial cofibration)라고 한다.

이들은 다음 두 공리들을 만족시켜야 한다.

• 3개 가운데 2개 조건(영어: two out of three): 임의의 사상 ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle g\circ f}$ 가운데 적어도 두 개가 약한 동치라면, 나머지 하나도 약한 동치이다.
• 약분해계: ${\displaystyle ({\mathfrak {C}}\cap {\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}})}$ 및 ${\displaystyle ({\mathfrak {C}},{\mathfrak {F}}\cap {\mathfrak {W}})}$는 각각 약분해계를 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
  • 올림 조건(영어: lifting): 임의의 대상 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}X{\xrightarrow {p}}Y}$ 및 ${\displaystyle A{\xrightarrow {i}}B{\xrightarrow {g}}Y}$가 주어졌고, ${\displaystyle p\circ f=g\circ i}$이며, ${\displaystyle p}$가 올뭉치이며, ${\displaystyle i}$가 쌍대올뭉치이며, ${\displaystyle p}$ 또는 ${\displaystyle i}$ 가운데 하나가 자명하다면, ${\displaystyle h\circ i=f}$이며 ${\displaystyle p\circ h=g}$인 사상 ${\displaystyle h\colon B\to X}$가 존재한다. 즉, 다음과 같다.

    ${\displaystyle {\begin{matrix}A&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle i}\downarrow &\nearrow \scriptstyle h&\downarrow \scriptstyle p\\B&{\xrightarrow[{g}]{}}&Y\end{matrix}}}$

  • 분해 조건(영어: factorization):
    • ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 임의의 사상 ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle f=p\circ {\tilde {\imath }}}$와 같이 쓸 수 있다. 여기서 ${\displaystyle p}$는 올뭉치이며, ${\displaystyle {\tilde {\imath }}}$는 자명한 쌍대올뭉치이다.
    • ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 임의의 사상 ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle f={\tilde {p}}\circ i}$와 같이 쓸 수 있다. 여기서 ${\displaystyle {\tilde {p}}}$는 자명한 올뭉치이며, ${\displaystyle i}$는 쌍대올뭉치이다.

    ${\displaystyle {\begin{matrix}&&X&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&{\tilde {Y}}&{\stackrel {\simeq }{\twoheadrightarrow }}&Y\\&{\scriptstyle \operatorname {id} }\swarrow &&\searrow \scriptstyle f&&\swarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\X&{\underset {\simeq }{\hookrightarrow }}&{\tilde {X}}&{\underset {p}{\twoheadrightarrow }}&Y\end{matrix}}}$

쌍대완비 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들의 모임 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$에 대한 상대적 세포 복합체(영어: relative cell complex) ${\displaystyle \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})}$는 다음 연산들에 대하여 닫힌 가장 작은 사상들의 모임이다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})}$
• (항등 사상에 대한 닫힘) 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})}$
• (쌍대곱에 대한 닫힘) 임의의 대상들의 집합 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$의 쌍대곱 ${\displaystyle \iota _{i}\colon X_{i}\to \coprod _{i}X_{i}}$에 대하여, ${\displaystyle \{\iota _{i}\}_{i\in I}\subseteq \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})}$
• (밂에 대한 닫힘) 임의의 ${\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f,g\in {\mathfrak {I}}}$라면, 밂

  ${\displaystyle {\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \iota _{X}\\Y&{\xrightarrow[{\iota _{Y}}]{}}&X\sqcup _{Z}Y\end{matrix}}}$

에 대하여 ${\displaystyle \iota _{X},\iota _{Y}\in \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})}$

• (초한 합성에 대한 닫힘) 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$ 및 대상들의 초한열 ${\displaystyle (X_{i})_{0\leq i<\alpha }}$ 및 사상 ${\displaystyle \{f_{i}\colon X_{i}\to X_{i+1}\}_{1\leq i+1<\alpha }}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i}\subseteq {\mathfrak {I}}}$라면 쌍대극한 ${\displaystyle \bigcirc _{i}f_{i}\colon X_{0}\to \varinjlim X_{i}}$ 역시 ${\displaystyle \bigcirc _{i}f_{i}\in \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})}$

${\displaystyle \operatorname {Cof} ({\mathfrak {I}})}$는 ${\displaystyle \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})}$의 원소들의 (화살표 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }}$에서의) 수축들의 모임이라고 하자.

모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {C}},{\mathfrak {F}})}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 쌍대올 생성 모형 범주(영어: cofibrantly generated model category)라고 한다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}=\operatorname {Cof} ({\mathfrak {I}})}$인 사상 모임 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$가 존재한다. ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$의 원소를 쌍대올뭉치 생성원(영어: generating cofibration)라고 한다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}\cap {\mathfrak {W}}=\operatorname {Cof} ({\mathfrak {J}})}$인 사상 모임 ${\displaystyle {\mathfrak {J}}}$가 존재한다. ${\displaystyle {\mathfrak {J}}}$의 원소를 자명 쌍대올뭉치 생성원(영어: generating trivial cofibration)라고 한다.

임의의 모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}$에 대하여, 그 반대 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$에 모형 구조 ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} },{\mathfrak {W}},{\mathfrak {C}},{\mathfrak {F}})}$를 주면, 이 역시 모형 범주를 이룬다.

임의의 모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}$ 및 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ 및 쌍대 조각 범주 ${\displaystyle X\backslash {\mathcal {C}}}$를 정의할 수 있으며, 망각 함자

${\displaystyle {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle X\backslash {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

가 존재한다.

이제, ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ 위에 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$의 약한 동치는 (망각 함자 아래) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 약한 동치이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$의 올뭉치는 (망각 함자 아래) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 올뭉치이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$의 쌍대올뭉치는 (망각 함자 아래) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 쌍대올뭉치이다.

그렇다면, 조각 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$는 모형 범주를 이룬다. 마찬가지로, 쌍대 조각 범주 ${\displaystyle X\backslash {\mathcal {C}}=({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }/X)^{\operatorname {op} }}$ 역시 모형 범주를 이룬다.

 이 부분의 본문은 호모토피입니다.

 이 부분의 본문은 호모토피 범주입니다.

모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}$에서, 모형 범주 구조를 사용하여 두 사상 사이의 왼쪽 호모토피(영어: left homotopy) 및 오른쪽 호모토피(영어: right homotopy)를 정의할 수 있다. 정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상일 경우 왼쪽 호모토픽 관계와 오른쪽 호모토픽 관계는 서로 일치하며, 동치 관계를 이루어 그 호모토피류를 정의할 수 있다.

모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}$에 대응하는 호모토피 범주를 정의할 수 있다. 호모토피 범주의 대상은 올대상이자 쌍대올대상인 대상들이며, 사상은 원래 모형 범주의 호모토피류이며, 호모토피 범주에서 원래 모형 범주의 약한 동치는 실제 동형 사상이 된다.

약분해계의 일반적인 이론에 따라서, 모형 범주의 구조의 데이터는 중복된다. 구체적으로, 모형 범주의 다음과 같은 데이터만으로 모형 범주 구조를 재구성할 수 있다.

• 약한 동치와 올뭉치^{[5]:428[6]:Proposition 3}
• 약한 동치와 쌍대올뭉치^{[5]:428[6]:Proposition 3} (위 경우의 반대 경우)
• 올뭉치와 쌍대올뭉치^{[5]:428[6]:Proposition 3}
• 쌍대올뭉치와 올대상^{[5]:Proposition E.1.10[6]:Corollary 3}
• 올뭉치와 쌍대올대상 (위 경우의 반대 경우)^{[6]:Corollary 3}
• 쌍대올대상과 자명한 올뭉치^{[6]:Corollary 3}
• 올대상과 자명한 쌍대올뭉치 (위 경우의 반대 경우)^{[6]:Corollary 3}
• 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 올뭉치^{[6]:Corollary 4}
• 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 쌍대올뭉치^{[6]:Corollary 4} (위 경우의 반대 경우)
• 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 자명한 올뭉치^{[6]:Corollary 4}
• 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 자명한 쌍대올뭉치^{[6]:Corollary 4} (위 경우의 반대 경우)

구체적으로, 임의의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상 모임 ${\displaystyle M}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle M}$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을 ${\displaystyle M^{\pitchfork }}$으로, ${\displaystyle M}$에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을 ${\displaystyle {}^{\pitchfork }M}$으로 표기하자.

그렇다면, 모형 범주에서 약한 동치의 모임 ${\displaystyle {\mathfrak {W}}}$ · 쌍대올뭉치의 모임 ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ · 올뭉치의 모임 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

${\displaystyle {\mathfrak {F}}=({\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {C}})^{\pitchfork }}$

${\displaystyle {\mathfrak {C}}={}^{\pitchfork }({\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {F}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}\cap {\mathfrak {W}}={\mathfrak {C}}^{\pitchfork }}$

${\displaystyle {\mathfrak {C}}\cap {\mathfrak {W}}={}^{\pitchfork }{\mathfrak {F}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {W}}=({\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {F}})\circ ({\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {C}})={\mathfrak {C}}^{\pitchfork }\circ {}^{\pitchfork }{\mathfrak {F}}}$

따라서, 약한 동치 · 쌍대올뭉치 · 올뭉치 가운데 2개가 주어지면 나머지 하나를 재구성할 수 있다.

모든 모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}$에서, ${\displaystyle {\mathfrak {W}}}$ · ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ · ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$는 모두 수축에 대하여 닫혀 있다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

• 임의의 사상 ${\displaystyle f\colon A\to A'}$, ${\displaystyle g\colon B\to B'}$에 대하여, 만약 화살표 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }}$에서 분할 단사 사상 ${\displaystyle (i,j)\colon f\to g}$이 존재한다고 하자. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {W}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, 또는 ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ 가운데 하나라고 할 때, 만약 ${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$라면 ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$이다. 화살표 범주에서의 분할 단사 사상은 구체적으로 ${\displaystyle j\circ f=g\circ i}$이며 ${\displaystyle s\circ g=f\circ r}$이며 ${\displaystyle r\circ i=\operatorname {id} _{A}}$이며 ${\displaystyle s\circ j=\operatorname {id} _{A'}}$인 사상 ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle s}$가 존재하는 것이다.

  ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{\to })\qquad {\begin{matrix}f&{\xrightarrow {(i,j)}}&g\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\f&{\xleftarrow[{(r,s)}]{}}&g\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}&&A\\&{\scriptstyle \operatorname {id} }\nearrow &&\searrow \scriptstyle \operatorname {id} \\A&{\xrightarrow {i}}&B&{\xrightarrow {r}}&A\\{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle g&&\downarrow \scriptstyle f\\A'&{\xrightarrow[{j}]{}}&B&{\xrightarrow[{s}]{}}&A'\\&{\scriptstyle \operatorname {id} }\searrow &&\nearrow \scriptstyle \operatorname {id} \\&&A'\end{matrix}}\qquad ({\mathcal {C}})}$

일부 문헌에서 이는 모형 범주의 정의의 일부로 등장하지만, 이는 사실 다른 공리들로부터 함의된다.^{[7][5]:Proposition E.1.3}

임의의 완비 쌍대 완비 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에 다음과 같은 자명한 세 가지의 모형 구조를 줄 수 있다.

약한 동치	올뭉치	쌍대올뭉치	올대상	쌍대올대상	호모토피 범주
동형 사상	모든 사상	모든 사상	모든 대상	모든 대상	원래 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
모든 사상	동형 사상	모든 사상	끝 대상	모든 대상	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$로부터 생성되는 준군
모든 사상	모든 사상	동형 사상	모든 대상	시작 대상	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$로부터 생성되는 준군

보다 일반적으로, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위에 약분해계 ${\displaystyle ({\mathfrak {E}},{\mathfrak {M}})}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 사상을 약한 동치로 삼고, ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$의 원소를 올뭉치로, ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$의 원소를 쌍대올뭉치로 삼으면 이는 모형 구조를 이룬다. 이 경우 역시 호모토피 범주는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$로부터 생성되는 준군이다.

위상 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$ 위에는 다음과 같은 세 개의 모형 범주 구조가 흔히 쓰인다.^[8]:§17

이들을 구별하기 위하여, 간혹 q-올대상(영어: q-fibrant object) · h-올대상 · m-올대상 따위의 용어를 사용하기도 한다. 여기서 q · h · m은 대응하는 모형 구조의 영어명의 머릿글자이다.

 이 부분의 본문은 단체 집합입니다.

단체 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {sSet} }$에는 역시 표준적인 모형 구조가 존재한다. 또한, 이 모형 구조는 위상 공간의 범주의 퀼런 모형 구조와 퀼런 동치이며, 따라서 동치인 호모토피 범주를 갖는다. 단체 집합의 범주에서 모든 대상은 쌍대올대상이며, 올대상은 칸 복합체이다.

 이 부분의 본문은 사슬 복합체입니다.

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 위에서, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}({\mathcal {A}})}$와 자연수 등급의 공사슬 복합체의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\bullet \geq 0}({\mathcal {A}})}$를 생각하자.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 공사슬 복합체 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\bullet \geq 0}({\mathcal {A}})}$ 위에는 약한 동치가 공사슬 복합체의 유사동형이며, 쌍대올뭉치가 양수 성분이 모두 단사 사상인 공사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 공사슬 복합체가 쌍대올대상이며, 올대상은 단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체이며, 올대상 분해는 공사슬 복합체의 단사 분해이다.

반대로, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 사슬 복합체 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}({\mathcal {A}})}$ 위에는 약한 동치가 사슬 복합체의 유사동형이며, 올뭉치가 양수 성분이 모두 전사 사상인 사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 사슬 복합체가 올대상이며, 쌍대올대상은 사영 대상으로 구성된 사슬 복합체이며, 쌍대올대상 분해는 사슬 복합체의 사영 분해이다.

집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ 위에는 정확히 9개의 모형 범주 구조가 존재한다.^[12]

이에 따른 호모토피 범주는 다음과 같다.

• 만약 약한 동치가 임의의 함수라면, 호모토피 범주는 하나의 대상 및 하나의 사상만을 갖는 범주와 동치이다.
• 만약 약한 동치가 정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수라면, 호모토피 범주는 두 개의 대상 (공집합 · 공집합이 아닌 집합) 및 이들의 항등 사상만을 갖는 범주와 동치이다.
• 만약 약한 동치가 전단사 함수라면, 호모토피 범주는 집합과 함수의 범주와 동치이다.

 이 부분의 본문은 미분 등급 대수입니다.

표수 0인 체 ${\displaystyle K}$ 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.

• 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}}$
• 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}}$
• 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }}$
• 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }}$

이 네 범주 위에는 각각 자연스러운 모형 범주 구조를 줄 수 있으며, 모든 경우 약한 동치는 유사동형(코호몰로지의 동형)이다.

작은 범주와 함자의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$ 위에서, 호모토피 동치가 범주의 동치가 되는 모형 범주 구조는 유일하다.^[13] 이 모형 범주 구조는 다음과 같다.

• 약한 동치인 함자는 범주의 동치이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$이다.
  • 충실충만한 함자이다.
  • 임의의 ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$에 대하여, ${\displaystyle i\colon F(C)\to D}$인 대상 ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ 및 동형 사상 ${\displaystyle i}$가 존재한다.
• 쌍대올뭉치인 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$는 대상에 대하여 단사 함수인 함자이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle C,C'\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 ${\displaystyle C\neq C'}$라면 ${\displaystyle F(C)\neq F(C')}$이다.
• 올뭉치인 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
  • 임의의 ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-동형 사상 ${\displaystyle i\colon F(C)\to D}$에 대하여, ${\displaystyle F(C')=D}$이자 ${\displaystyle F(j)=i}$가 되는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-동형 사상 ${\displaystyle j\colon C\to C'}$가 존재한다.

동치 관계의 범주에 흥미로운 모형 범주 구조를 부여할 수 있다.^[14]

대니얼 퀼런이 1967년에 도입하였다.^[9]

• “Model category”. 《nLab》 (영어). 
  • “Opposite model structure”. 《nLab》 (영어). 
  • “Transferred model structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on topological spaces”. 《nLab》 (영어). 
  • “Strøm model structure”. 《nLab》 (영어). 
  • “Mixed model structure”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on simplicial sets”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on cellular sets”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure for quasi-categories”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on chain complexes”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on dg-algebras”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on dg-coalgebras”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on dg-modules”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on algebras over an operad”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on dg-categories”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on cosimplicial rings”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on an over category”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on simplicial presheaves”. 《nLab》 (영어). 
• “Canonical model structure”. 《nLab》 (영어). 
  • “Trivial model structure”. 《nLab》 (영어). 
  • “2-trivial model structure”. 《nLab》 (영어). 
  • “Canonical model structure on Cat”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on sSet-categories”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on strict omega-groupoids”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on enriched categories”. 《nLab》 (영어). 
• “Combinatorial model category”. 《nLab》 (영어). 
  • “Combinatorial simplicial model category”. 《nLab》 (영어). 
  • “Cellular model category”. 《nLab》 (영어). 
  • “Tractable model category”. 《nLab》 (영어). 
  • “Cofibrantly generated model category”. 《nLab》 (영어). 
• “Fibration”. 《nLab》 (영어). 
  • “Cofibration”. 《nLab》 (영어). 
  • “Resolution”. 《nLab》 (영어). 
• Shipley, Brooke (2006년 1월). “Model category theory” (PDF) (영어). 
• “How to think about model categories?” (영어). Math Overflow. 
• “What are surprising examples of model categories?” (영어). Math Overflow. 
• “Non-examples of model structures that fail for subtle surprising reasons” (영어). Math Overflow. 
• Mandell, Michael A. (2013년 7월). “Algebraic models for homotopy types” (영어). 2015년 6월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 6월 11일에 확인함.