아벨의 합 공식 (적분 기법)

다른 뜻에 대해서는 아벨의 합 공식 문서를 참고하십시오.

해석학에서 아벨의 합 공식(Abel's Sum Formula)은 크게 두 가지 의미로 사용된다. 여기에서는 적분에 대한 공식을 기술할 것이다. 이는 많은 경우 쉽게 적분할 수 없을 것처럼 보이는 적분을 쉽게 만들어주는 공식이다. 닫힌 꼴의 적분값을 찾는 적분 기법의 측면에서, 이는 초등적인 기법으로 증명할 수 있는 고급 테크닉에 속한다.(이외의 테크닉으로는 푸리에 해석을 이용한 방법, 유수 정리를 이용한 방법, 변수 변환을 이용한 방법, 수열을 이용한 방법 등이 있다)

일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.

• 보조정리 : ${\displaystyle [c,\infty ]}$에서 리만적분가능함수 ${\displaystyle f(x)}$에 대해 ${\displaystyle \int _{c}^{\infty }f(x)\,dx}$ 가 수렴하면, 적분 ${\displaystyle \int _{c}^{\infty }e^{-ax}f(x)\,dx=F(a)}$는 ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$에 대해 균등수렴한다.
• 정리 : 이 때, 실제로 ${\displaystyle \int _{c}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}F(a)}$ 가 성립한다.

이것 자체의 증명은 그다지 어렵지 않으므로 생략한다.

아벨의 합 공식을 이용하는 방법은, 위의 공식에서 다른 방법으로 ${\displaystyle F(a)}$에 관한 식을 찾은 뒤 이것을 ${\displaystyle a}$에 관해 풀어서 적분을 구하는 것이다.

아벨의 합 공식을 이용해 실제로 적분 ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx}$를 계산해 보자. 공식에 대입하면,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}\int _{0}^{\infty }e^{-ax}{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}F(a)}$

이 된다. 그런데 우변의 식은,

${\displaystyle F'(a)=-\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin {x}\,dx=-{\frac {1}{1+a^{2}}}}$

이 되므로, 이를 다시 ${\displaystyle a}$에 관해 적분하면,

${\displaystyle F(a)=-\arctan {a}+C}$

와 같이 된다. 적분상수를 결정하기 위해 적분의 형태를 이용하자. ${\displaystyle F(a)}$의 원 식에서 ${\displaystyle a}$가 무한대로 가면, 적분식 안이 ${\displaystyle 0}$으로 접근하므로 ${\displaystyle F(a)}$ 역시 ${\displaystyle 0}$으로 접근한다. 또 이때 아크탄젠트 함수의 값은 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$로 접근하므로, 적분상수는 결국 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$와 같이 된다. 따라서,

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow +0}{[-\arctan {a}+{\frac {\pi }{2}}]}={\frac {\pi }{2}}}$

가 되고, 이는 원 적분과 같다.

• 아벨 극한 정리

• 호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006