정칙 국소환

가환대수학에서 정칙 국소환(正則局所環, 영어: regular local ring)은 극대 아이디얼의 최소 생성원 집합의 크기가 크룰 차원과 같은 뇌터 국소환이다.

가환 뇌터 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)}$에 대하여, 다음 두 성질들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환 뇌터 국소환을 정칙 국소환이라고 한다. (여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$은 ${\displaystyle R}$의 유일한 극대 아이디얼이며, ${\displaystyle K=R/{\mathfrak {m}}}$은 그 잉여류체이다.)

• 극대 아이디얼을 생성하는 매개계가 존재한다. 즉, 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$은 ${\displaystyle \dim R}$개의 원소들로 생성된다 (${\displaystyle \dim R}$는 크룰 차원).
  • 크룰 높이 정리에 따라, 임의의 뇌터 환의 극대 아이디얼에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$은 최소한 ${\displaystyle \dim R}$개 이상의 원소로 생성된다. 즉, 이 조건은 크룰 높이 정리에 따른 하한이 포화된다는 것이다.
• ${\displaystyle \dim _{K}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim R}$이다. 여기서 ${\displaystyle \dim _{K}}$는 ${\displaystyle K}$-벡터 공간의 차원이다.
  • ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$의 유일한 닫힌 점 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$에서의 자리스키 공변접공간이다. 즉, 이 조건은 자리스키 (공변)접공간의 차원이 아핀 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 자체의 (크룰) 차원과 같다는 것이다.
• ${\displaystyle R}$ 위의 모든 가군들의 사영 차원은 상계를 갖는다.

  ${\displaystyle \sup\{\operatorname {pd} M\colon M\in \operatorname {Mod} _{R}\}<\infty }$

• ${\displaystyle R}$ 위의 모든 가군들의 사영 차원은 ${\displaystyle \dim R}$ 이하이다.

  ${\displaystyle \sup\{\operatorname {pd} M\colon M\in \operatorname {Mod} _{R}\}\leq \dim R}$

정칙 스킴은 모든 국소환이 정칙 국소환인 스킴이다. 정칙환(正則環, 영어: regular ring) ${\displaystyle R}$는 아핀 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$가 정칙 스킴인 가환환이다. 즉, 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 정칙 국소환인 가환환이다.

체를 포함하는 정칙 국소환 ${\displaystyle R}$는 스스로의 분수체에 대한 형식적 멱급수환이다. 즉,

${\displaystyle R\cong \operatorname {Frac} (R)[[x_{1},\dots ,x_{\dim R}]]}$

이다.

정칙 국소환의 모든 국소화 및 완비화 역시 정칙국소환이다.

국소 가환환이 정칙 국소 가환환일 필요 충분 조건은 그 (극대 아이디얼에서의) 완비화가 정칙 국소 가환환인 것이다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이라는 사실은 오슬랜더-북스바움 정리(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)라고 한다.^[1]

또한, 다음이 성립한다. 정칙 국소환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• ${\displaystyle R}$는 체이다.
• ${\displaystyle \dim R=0}$이다.

(체는 크룰 차원이 0이며, 체에서는 영 아이디얼이 극대 아이디얼이다.)

정칙 국소환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• ${\displaystyle R}$는 이산 값매김환이다.
• ${\displaystyle \dim R=1}$이다.

 이 부분의 본문은 완비 국소환입니다.

정칙 국소환은 국소화를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있다. 이 가운데 뇌터 가환환인 것은 구조 정리가 알려져 있다.

소수 ${\displaystyle p}$에 대한 p진 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$은 이산 값매김환이므로 정칙 국소환이다. 이는 체를 포함하지 않는 정칙 국소환의 예이다.

국소환 ${\displaystyle R}$에 대한, ${\displaystyle n}$개의 변수에 대한 형식적 멱급수환 ${\displaystyle R[\![x_{1},\dots ,x_{n}]\!]}$은 정칙 국소환이다. 특히, 체 ${\displaystyle K}$에 대한 형식적 멱급수환 ${\displaystyle K[\![x_{1},\dots ,x_{n}]\!]}$은 ${\displaystyle n}$차원의 정칙 국소환이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여 국소 가환환 ${\displaystyle K[x]/(x^{2})}$를 생각하자. 그 크룰 차원은 0차원이지만, 그 극대 아이디얼 ${\displaystyle (x)}$은 영 아이디얼이 아니며, 하나의 원소로 생성된다. 따라서 이는 정칙 국소환이 아니다.

호몰로지 대수학적으로, ${\displaystyle K[x]/(x^{2})}$는 다음과 같은 무한 분해를 갖는다.

${\displaystyle \dotsm {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}\to K\to 0}$

따라서 그 가군의 사영 차원은 무한히 클 수 있으며, 상계를 갖지 못한다.

대수기하학적으로, ${\displaystyle K[x]/(x^{2})}$는 아핀 직선 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]}$ 속의 원점 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (K[x]/(x))\hookrightarrow \operatorname {Spec} K[x]}$의 ‘무한소 근방’에 해당한다. 따라서 이는 기하학적으로 특이점을 이룬다. 이는 사실

대수기하학에서, 완전체에 대한 대수다양체 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle x\in V}$에서 비특이인 필요 충분 조건은 싹의 국소환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,x}}$가 정칙 국소환인 것이다. ‘정칙 국소환’이라는 이름은 이 성질에서 유래하였다. 이를 사용하여, 정칙성을 일반적인 스킴에 대하여 정의할 수 있다. 정칙 스킴(영어: regular scheme)은 정칙환의 스펙트럼으로 덮을 수 있는 스킴이다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$에 대한 아핀 대수다양체 ${\displaystyle V\subset K^{n}}$ 속의 (닫힌) 점 ${\displaystyle x\in V}$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.^[2]

• 국소환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,x}}$가 정칙국소환이다.
• ${\displaystyle V}$가 다항식들 ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$의 영점들의 교집합이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle x\in K^{n}}$에서의 ${\displaystyle m\times n}$ 야코비 행렬 ${\displaystyle (\partial f_{i}/\partial x^{j})|_{x}}$의 계수가 ${\displaystyle n-\dim V}$이다.

즉, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수다양체의 경우 이 조건은 고전적인 비특이점의 개념과 일치함을 알 수 있다.

정칙 국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1937년에 도입하였다.^[3]

• “Regular ring (in commutative algebra)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular local ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Regular local ring”. 《nLab》 (영어).