파르스발 항등식

함수해석학에서, 파르스발 항등식(Parseval恒等式)은 푸리에 급수의 수렴성에 관한 중요한 결과이다. 수학자 마르크앙투안 파르스발의 이름을 땄다. 기하학적 관점에서 파르스발 항등식은 내적 공간에서의 피타고라스 정리로 볼 수 있다.

${\displaystyle H}$가 힐베르트 공간이라 하고, ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},...\}}$가 ${\displaystyle H}$의 정규 직교 기저라 하자. 그러면 임의의 ${\displaystyle x\in H}$에 대해 다음이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{e\in B}\left\vert \left\langle x,e\right\rangle \right\vert ^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}.}$

피타고라스 정리에 따르면 벡터의 길이의 제곱은 정규 직교 기저로 나타낸 성분들의 제곱의 합과 같은데, 파르스발 항등식은 이를 일반화한 것이라 할 수 있다.

보다 일반적으로, 파르스발 항등식은 ${\displaystyle H}$가 내적 공간이고 ${\displaystyle B}$의 선형생성이 ${\displaystyle H}$에서 조밀한 경우에도 성립한다. ${\displaystyle B}$가 조밀하지 않은 경우 등호가 성립하지 않을 수도 있으며, 대신에 등호를 부등호 ≤로 바꾼 베셀 부등식이 성립한다.

구체적인 예로, 힐베르트 공간 ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$와 정규 직교 기저 ${\displaystyle \{e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \}}$를 생각해 보자. 함수 ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$의 푸리에 계수를

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx}$

라 하면, 파르스발 항등식에 의해 다음이 성립한다.

${\displaystyle \Vert f\Vert ^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

• (영어) “Parseval equality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• (영어) Parseval's Theorem 파르스발 항등식에 대한 매스월드 문서.