푸아송 방정식

푸아송 방정식(Poisson方程式, 영어: Poisson’s equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 라플라스 방정식을 일반화한 것이다. 시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다.

${\displaystyle n}$차원 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에서, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle M}$ 위에 주어진 함수라고 하자. 그렇다면 푸아송 방정식은 미지 함수 ${\displaystyle \phi }$에 대한 다음과 같은 2차 편미분 방정식이다.

${\displaystyle \Delta \phi =f}$

여기서 ${\displaystyle \Delta }$는 라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는 ${\displaystyle M}$이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.

푸아송 방정식은 그린 함수를 사용하여 풀 수 있다. ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 그린 함수 ${\displaystyle G_{n}(\mathbf {r} )}$는 다음과 같다.

${\displaystyle G_{1}(r)=-{\frac {|r|}{2}}}$

${\displaystyle G_{2}(\mathbf {r} )=-{\frac {\ln(\Vert \mathbf {r} \Vert )}{2\pi }}}$

${\displaystyle G_{n}(\mathbf {r} )={\frac {1}{V_{n}\Vert \mathbf {r} \rVert ^{n-2}}}}$ (${\displaystyle n>2}$)

여기서

${\displaystyle V_{n}=2\pi ^{n/2}/\Gamma (n/2)}$

은 반지름이 1인 ${\displaystyle n-1}$차원 초구의 (초)면적이고, ${\displaystyle \Gamma }$는 감마 함수다. 예를 들어

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\displaystyle V_{2}=2\pi }$

${\displaystyle V_{3}=4\pi }$

${\displaystyle V_{4}=2\pi ^{2}}$

이다. 그린 함수 ${\displaystyle G_{n}}$은 다음을 만족시킨다.

${\displaystyle \Delta G_{n}(\mathbf {r} )=-\delta ^{(n)}(\mathbf {r} )}$

여기서 ${\displaystyle \delta ^{(n)}}$는 ${\displaystyle n}$차원 디랙 델타 함수다.

전자기학에서, 주어진 전하 분포가 발생시키는 전위를 계산할 때 쓰인다. 이 경우 ${\displaystyle f}$는 주어진 전하 밀도이고, ${\displaystyle \phi }$는 전위로 해석한다.

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