헬름홀츠 방정식

수학에서 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 물리학에서 자주 등장한다. 독일의 물리학자 및 생리학자 헤르만 폰 헬름홀츠의 이름을 땄다.

정의

$n$ 차원 유클리드 공간 위에 함수 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 을 생각해 보자. 그렇다면 $f$ 에 대한 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

(\nabla ^{2}+k^{2})f(\mathbf {x} )=0.

여기서 $\nabla ^{2}$ 는 라플라스 연산자이고, $k$ 는 상수다.

2차원 헬름홀츠 방정식

극좌표계에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

f(r,\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}\cos n\theta +b_{n}\sin n\theta \right)\left(c_{n}J_{n}(kr)+d_{n}Y_{n}(kr)\right)

.

여기서 $J_{n}(kr)$ 과 $Y_{n}(kr)$ 은 베셀 함수다. 만약 $f$ 가 원점 $r=0$ 에서 연속적이려면 ( $Y_{n}(kr)$ 은 원점에서 발산하므로) $d_{n}=0$ 이어야 한다.

3차원 헬름홀츠 방정식

구면좌표계에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

f(r,\theta ,\phi )=\sum _{m,l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\left(c_{n}j_{n}(kr)+d_{n}y_{n}(kr)\right)

.

여기서 $j_{n}(kr)$ 과 $y_{n}(kr)$ 은 구면 베셀 함수이고, $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ 는 구면 조화 함수다.

응용

$k^{2}=-m^{2}$ 이 음수일 때, 헬름홀츠 방정식은 (유클리드 계량 부호수)에서의) 클라인-고든 방정식이 된다. 따라서, 헬름홀츠 방정식의 그린 함수

(\nabla ^{2}-m^{2})f(\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )

는 점입자의 퍼텐셜이 된다. 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서 $r=\Vert \mathbf {x} \Vert$ 이다.

차원	그린 함수	$m=0$ 인 그린 함수
2	$-K_{0}(mx)/2\pi$	$(\ln r)/2\pi$
3	$-\exp(-mr)/(4\pi r)$	$-1/(4\pi r)$
n>2	$-(n-2)(2\pi )^{-1}(m/2\pi r)^{n/2-1}K_{n/2-1}(mr)$	$-1/(V_{n}r^{n-2})$

여기서

V_{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}

(

n>2

)

는 반지름이 1인 $n-1$ 차원 초구의 (초)면적이고, $\Gamma$ 는 감마 함수다. $K_{\alpha }(x)$ 는 베셀 함수의 하나다. $m=0$ 인 경우 헬름홀츠 방정식은 푸아송 방정식이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 익숙한 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한 $m$ 의 경우, 이 퍼텐셜은 잘 알려진 유카와 퍼텐셜이다.