Геометриска распределба

Геометриска распределба
Закон на распределба (pdf)
Кумулативна распределба (cdf)
Тип	Дискретна
Означување	G(p)
Параметри	p∈[0,1]
Поддршка	k∈{1,2,...,n,...}
PDF	${\displaystyle f(k)=p(1-p)^{k-1}\,\,\,k\in \mathbb {N} }$
CDF	${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{0\,\,\,\,\,x<1}\\{1-{{(1-p)}^{floor(x)}}\,\,\,x\geq 1}\end{array}}\right.}$
μ	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$
σ2	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$

Во веројатностa и во статистиката, геометриска распределба G(p), p∈(0,1) е случаен експеримент во кој Бернулиев опит со веројатност на успех p се повторува сè додека нема успех, па се запишува бројот k на повторувањето кога се случил тој прв успех.^[1]

• Геометриската распределба е потполно определена со веројатноста на успехот p.
• Геометриската распределба е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со безброј елементи: X={1,2,...,n,...}=ℕ.
• Pr(X=k) е веројатноста дека за првпат имало успех на k-тото повторување на Бернулиевиот опит со веројатност на успех p, k∈X. (Значи, сите k-1 повторувања на опитот пред тоа биле неуспешни).

Во табелата подолу се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како што е вообичаено за Бернулиев опит) во геометриски експеримент. Подредените исходи не се исходите на геометрискиот експеримент. Во експериментот, исходите се само k, но вака можеме да видиме како се пресметува соодветната веројатност на исходот.

• Има точно еден исход за секој k∈X, односно точно еден исход каде што во k-тото повторување е првиот успех (а штом се појави успех застануваме со повторување на Бернулиевиот опит).
• Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиев опит е независно од минатите и од идните повторувања, веројатноста Pr(X=k) е веројатност на k-1 неуспеси и 1 успех, односно

${\displaystyle Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p=p(1-p)^{k-1}}$.

Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.^[2]

${\displaystyle \sum \limits _{k}{\Pr(X=k)}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }p(1-p)^{k-1}=p\cdot \sum \limits _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k-1}=p\cdot ((1+(1-p)+(1-p)^{2}+(1-p)^{3}+...)}$

каде што имаме збир на бескрајна геометриска низа, т.е. геометриски ред со полупречник r=(1-p) таков што 0<r<1. Следува

${\displaystyle p\cdot (1+(1-p)+(1-p)^{2}+(1-p)^{3}+...)=p\cdot S_{\infty }(1-p)=p\cdot {\frac {1}{1-(1-p)}}={\frac {p}{p}}=1\,}$.

• Геометриски експеримент G(p) ја има дискретната случајна променлива: X={1,2,3,...}=ℕ.

PDF на G(p)
X=k	Pr(X=k)=f(k)
1	${\displaystyle p\cdot (1-p)^{1-1}=p}$
2	${\displaystyle p\cdot (1-p)^{2-1}=p(1-p)}$
3	${\displaystyle p\cdot (1-p)^{3-1}=p(1-p)^{2}}$
...	...
n	${\displaystyle p\cdot (1-p)^{n-1}}$
...	...

Вредностите на кумулативната распределба се делумните збирови на геометриски ред.^[3]

CDF на G(p)
x∈ℝ	F(x)
x<1	${\displaystyle 0}$
1≤x<2	${\displaystyle 1-(1-p)^{1}=p}$
2≤x<3	${\displaystyle 1-(1-p)^{2}=p(2-p)}$
...	...
n≤x<n+1	${\displaystyle {1-(1-p)^{n}}}$
...	...

• Очекувана вредност E(x)  ^[4]

${\displaystyle E(x)=\sum \limits _{j}{x_{j}}\cdot {p_{j}}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }k\cdot p(1-p)^{k-1}={\frac {1}{p}}}$

• Дисперзија σ^{2  [5]}

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{j}({x_{j}}-E(x))^{2}\cdot {p_{j}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}$

Пример: Експериментот е: Се фрла коцка сè додека не падне 5-ка. Опиши го експериментот. Експериментот е геометриска распределба со Бернулиев опит: успех=5-ка. Значи p=⅙=0,167. Значи G(0,167).

PDF-от на G(0,167) X=k f(k)=Pr(X=k) 1  0,1667·0.83330=0,1667 2  0,1667·0.83331=0,1389 3  0,1667·0.83332=0,1157 4  0,1667·0.83333=0,0965 ... ... 25  0,1667·0.833324=0,0130 ... ... Σ 1,0000	CDF-от на G(0,167) x F(x) x<1 0 1≤x<2 0,1667 2≤x<3 0,3056 3≤x<4 0,4213 4≤x<5 0,6723 ... ... 15≤x<16 0,9351 ... ...

Очекуваната вредност:	E(x) = 1/p = 1/0,167 = 6
Дисперзијата е:	σ2 = (1-p)/p² = 0,833/0,167² = 30
Стандардното отстапување е:	σ ≈ 5,477

Пример: Еден стрелец има веројатност p=0,8 да ја погоди целта. Плаќа 1000 ден. за секое стрелање, а добива 1000 ден. кога ќе ја погоди целта. Престанува да стрела кога ќе ја погоди целта, но стрела максимум 5 пати. Колку му е просечно плаќање/добивка?

За графички приказ на PDF-от, т.е. Законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на геометриска распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.^[6]

Дефиниции специфични за геометриската распределба се:

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на кирилица и латиница) се:

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).

• Геометриски ред
• Биномна распределба
• Дискретна случајна променлива
• Опит (теорија на веројатноста)
• Веројатност

• Стојановска, Л (2013). „Геометриска Распределба“. Архивирано од изворникот на 2022-05-20. Посетено на 1 October 2013. интерактивен
• Lane, D. M., (Editor) (2013). „Online Statistics Education: An Interactive Multimedia Course of Study“ (англиски). Посетено на 1 October 2013.CS1-одржување: излишен текст: список на автори (link)
• Leemis, L. (2007). „Univariate Distribution Relationships“ (англиски). William and Mary, VA, USA. Посетено на 1 October 2013.
• „Probability Distributions with R-programming Language“ (англиски). Посетено на 1 October 2013. со алгоритми за генерирање на случајни податоци