Еднострана проверка

Алтернативната хипотеза каде што отстапувањата на М_x од М_о ги следиме во една насока, ја нарекуваме еднонасочна хипотеза, а проверките со кои го испитуваме прифаќањето на нултата хипотеза ги нарекуваме еднонасочни или еднострани проверки.Еднонасочната проверка се користи при проверка на статистичките хипотези и ни помага да определиме дали ќе ја прифатиме или отфрлиме нултата хипотеза.^[1]

Еднострана проверка на хипотеза е пнаа каде што алтернативната хипотеза е со насока и ги вклучува симболите < и >.^[2] Еднострана алтернативна хипотеза е алтернативна хипотеза која ги опфаќа сите можни вредности на параметарот на популацијата или на едната или на другата страна (поголема или помала) од вредноста определена со нултата хипотеза.^[3]Алтернативната хипотеза е еднострана ако параметарот е поголем или помал од вредноста на нултата хипотеза. Проверката е двонасочена кога параметарот има различна вредност од вредноста на нултата хипотеза.Нултата хипотеза е обично проверена наспроти алтернативната хипотеза.

Нултата хипотеза претставува тврдење за вредноста на параметарот на основната маса (М_x), кој со постапката на проверка настојуваме да го оспориме.Нултата хипотеза може да биде проста и сложена.Кај еднонасочната проверка постои сложена нулта хипотеза бидејќи се опфатени поголем број можни вредности. Алтернативната хипотеза најчесто ги содржи сите вредности кои може да ги има параметарот М_x, а коишто не се опфатени со нултата хипотеза.Алтернативната хипотеза по правило е дадена во облик на сложена хипотеза.

При тоа само една може да биде вистинита, односно едната хипотеза ја прифаќаме,а другата ја отфрламе.Исто така нултата и алтернативната хипотеза се сеопфатни односно заедно ги опфаќаат сите можни вредности на параметарот на основната маса.За одлуките за H_o во формалните сумирања на резултатите од проверките, ги користиме изразите се отфрла и не се отфрла.Нултата хипотеза има статус на главна хипотеза - таква која се смета за точна, освен ако податоците не содржат силен доказ за отфрлање на истата.Со одредување на нивото на значајност на ниско ниво, имаме мала веројатност за отфрлање на точната H_o.Кога ја отфрламе, веројатноста на грешка е на ниво на значајност α.Но, ако има мал примерок, ќе ја отфрлиме H_o само ако е неконтролирано погрешна.Со зголемување на големината на примерокот веројатноста на отфрлање на погрешната H_o се зголемува.Кога ќе ја отфрлиме нултата хипотеза, имаме силен доказ дека H_o не е точна и поради тоа H₁ се смета за точна.Ако бараме силен доказ во корист на одреден исход, го дефинираме тој исход како H₁, а другиот исход како H_o.Ова се нарекува аргумент на спротивни факти.Кога ја отфрламе H_o, постои силен доказ во корист на H₁, и сигурни сме дека нашата одлука е точна.

Со помош на проверката на статистичките хипотези, информациите од примерокот ги користиме за испитување на прифатливоста на некои тврдења или претпоставки кои се однесуваат на одликите на основната маса .Најчесто се набљудува вредноста на некој параметар на масата, обликот на распределба на основната маса и слично.Кога истражувачот сака да проверува нова претпоставка, нова теорија, тој прво формулира хипотеза или тврдење за кое што претпоставува дека е точно.Нашата одлука за избирање на едната или другата хипотеза (алтернативната или нултата хипотеза) произлегува од строга постапка.Процесот на одлучување користи статистика на одлучување пресметана од случаен примерок, како што е средината на примерокот ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$, варијансата на примерокот S² или пропорцијата на примерокот.Статистиката на која ја базираме нашата одлука дали ќе ја прифатиме или ќе ја отфлиме нултата хипотеза се нарекува статистика на проверување.

За разлика од двонасочниот или билатералниот кај еднонасочниот или едностраната проверка се проверува хипотезата дека вредноста на параметарот е поголема или еднаква, односно помала или еднаква на хипотетичната вредност на параметарот на основната маса.Кај овие проверки областа на прифаќање на хипотезата е ограничена само на едната страна.Оттаму со примена на хипотезата од овој облик се определува и насоката на отстапување на стварната од хипотетичната вреднот на параметарот на множеството популација. Откако веќе прецизно сме ги дефинирале нултата и алтернативната хипотеза во понатамошната постапка на проверката вршиме избор на т.н.статистика на проверкаот т.е специфичниот критериум на проверката,од чијашто реализирана вредност зависи одлуката за прифаќање или отфрлање на хипотезата. Обликот на статистика на проверката е детерминиран со видот на проблемот што го разгледува. Во овој контекст предметот на нашето разгледување е проверката која е заснована на критериумот на проверката, дефинирањето во следниот облик:

${\displaystyle z={\frac {{\bar {x}}-M_{0}}{\mathrm {\sigma _{\bar {x}}} }}}$

Овој облик на проверка се заснова врз аритметичката средина на примерокот,${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$, како непристрасна оцена на проверениот параметар М_x, на М_o како хипотетична вредност на параметарот на основната маса и σ_{${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$}, стандардизираната грешка на оценката (пресметување врз основа на примерок).^[4]

1. H_o : M_x ≤ M_o H₁ : M_x > M_o

• Нултата хипотеза гласи дека параметарот M_x е помал или еднаков на параметарот M_o .
• Алтернативната хипотеза гласи дека параметарот M_x е поголем од параметарот M_o
• Ги опфаќа отстапувањата на десната страна.
• Пример: H₁ : M_x > 16

Средната тежина на пакувањето на житарици на популацијата паѓа во интервалот на вредности поголеми од 16 унци.

2. H_o : M_x ≥ M_o H₁ : M_x < M_o

• Нултата хипотезагласи дека параметарот M_x е поголем или еднаков на параметарот M_o .
• Алтернативната хипотеза гласи дека параметарот M_x е помал од параметарот M_o
• Ги опфаќа отстапувањата на левата страна.
• Пример: H₁ : M_x < 16

Средната тежина на пакувањето на житарици на популацијата паѓа во интервалот на вредности помали од 16 унци.

Нултата и алтернативната хипотеза се меѓусебно исклучувачки тврдења што значи дека само една може да биде вистинита.Низата вредности на параметарот на примерокот чија веројатност е помала или еднаква од нивото на значајност (α) ја сочинува т.н критична област или област на отфрлање на H_o. Останатиот дел на распределбата ја претставува областа на прифаќање на H_o.Положбата на областа на отфрлање е детерминирана со карактерот на H₁.Ако со алтернативната хипотеза се определува насоката на разликата помеѓу вредноста на параметарот на примерокот (M_x) и хипотетичната вредност на параметарот (M_o),тогаш областа на отфрлање ќе се наоѓа само на едната страна од распределбата. Поради тоа ќе имаме примена на еднонасочната проверка.Ако со алтернативната хипотеза не се определува насоката на разликата,тогаш областа на отфрлање ќе се наоѓа на двете страни од распределбата и ќе се примени двонасочнната.

Кај еднонасочната проверка, областа на отфрлање на нултата хипотеза во целост се наоѓа на едниот крај на хипотетичката веројатносна распределба.Еднонасочната проверка ги следи отстапувањата само во една насока.Тоа значи дека ризикот α се распределува само на еден крај на веројатностите.Заради тоа се разликува и процедурата за утврдување на критичната вредност, како и правилото на одлучување на кое се темели конечната одлука.Тоа ќе го објасниме со следниов пример:
Врз основа на прибраните информации оправдано е сомневањето на земјоделскиот стручњак дека просечниот принос на пченица е понизок во тековната во однос на претходната година.Својата констатација дека просечниот принос на пченица изнесува помалку од 4 тони по хектар, земјоделскиот стручњак ја проверува преку проверка на хипотезата формулирана на следниот начин:

H_o : M_x ≥ 4

H₁ : M_x < 4

Истражувачот избира примерок од 36 парцели и проверката го спроведува при ниво на значајност α=0,02, а од претходно искуство се знае дека стандардното отстапување е 1,2.Имајќи ја предвид големината на примерокот статистиката на ${\displaystyle Z}$ проверката има приближно нормална распределба.Нултата хипотеза ќе биде точна ако просечната потрошувачка по хектар изнесува, на пример, 5 или 6 тони.Меѓу нив земјоделскиот стручњак мора да избере една хипотетична вредност на аритметичката средина на множеството.Врз основа на избраната вредност M_o тој ќе го прецизира хипотетичката веројатносна на ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ којшто ќе го користи при проверката.Во понатамошната постапка при проверката, истражувачот, за избрано ниво на ризик треба да ја определи областа на прифаќање и отфрлање на нултата хипотеза.За да биде точна нултата хипотеза, вредноста на проверениот параметар може да биде поголема, но не смее да биде помала од 4, па поради тоа, целокупната област се наоѓа на левата страна на распределбата.

критична вредност

P(Z ≤ z)=α

F(z)=α

реализирана вредност

${\displaystyle z={\frac {{\bar {x}}-M_{0}}{\mathrm {\sigma _{\bar {x}}} }}={\frac {3,4-4}{0,2}}=-2,5\,\!}$

${\displaystyle \mathrm {\sigma _{\bar {x}}} \ ={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}={\frac {1,2}{\sqrt {36}}}=0,2}$

Во нашиот пример, за избрано ниво на значајност, α=0,02, критичната вредост за z_α= -2,05.При ризик α=0,02, најмалата вредност z_α= -2,05, која сè уште може да се прифати како поддршка на нултата хипотеза.Оттаму, при статистиката на проверка ${\displaystyle Z}$, правилото на одлучување гласи:

H_o треба да се отфрли ако z < z_α ; (z < -2.05)

H_o треба да се прифати ако z ≥ z_α ; (z ≥ -2.05)

Реализираната вредност на z изнесува -2,5.Бидејќи z < z_α, односно -2,5 < -2,05, земјоделскиот стучњак ќе заклучи, односно ќе донесе одлука дека треба да се отфрли нултата хипотеза со ризик α=0,02.Тоа значи дека разликата меѓу ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ и M_o е статистички значајна, а не случајна.

Постапката при проверката на хипотезата која е формулирана во следниот облик:

H_o : M_x ≤ M_o H₁ : M_x > M_o

Под претпоставка дека се задоволени условите за примена на нормалната распределба на веројатностите на статистиката на проверка ${\displaystyle Z}$, се спреведува аналогно на претходното објаснување.Во овој случај, критичната вредност во целост е сместена на десната страна на распределбата.Таа се пресметува на следниот начин:

критична вредност

P(Z>z)=1-F(z)=α

F(z)=1-α

реализирана вредност

${\displaystyle z={\frac {{\bar {x}}-M_{0}}{\mathrm {\sigma _{\bar {x}}} }}={\frac {7-5}{0,2}}=10\,\!}$

${\displaystyle \mathrm {\sigma _{\bar {x}}} \ ={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}={\frac {1,2}{\sqrt {36}}}=0,2}$

Правилото на одлучување гласи:

H_o треба да се отфрли ако z > z_1-α

H_o треба да се прифати ако z ≤ z_1-α

Така, на пример, ако истражувачката претпоставка гласи дека просечното време на траење на поправката на една машина е подолго од 5 часа, тогаш нултата и антернативната хипотеза се формулирани на следниот начин:

H_o : M_x ≤ 5

H₁ : M_x >5

Да претпоставиме дека примерокот е со големина n=100, аритмеричката средина е 7 дена, стандардното отстапување σ=2.На ниво на значајност α=0,01 треба да донесеме суд за прифаќање или отфлање на нултата хипотеза.Реализираната вредност на статистиката на ${\displaystyle Z}$ проверкаta во конкретниот пример изнесува 10.Тоа значи дека ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ е поголема од М_о за десет стандардни грешки.Бидејќи z=10 > z_0,01=2,33 со ризик од 1 ${\displaystyle \%}$, ќе ја отфрлиме нултата хипотеза.Податоците од примерокот јасно ја поддржуваат нашата претпоставка која ја формулиравме во облик на алтернативна хипотеза.Бидејќи H_o ја отфрливме со ризик α=0,01, разликата меѓу ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ и М_о ја нарекуваме статистички високо значајна.
Во постапката на проверка на хипотези, нивото на значајност се избира однапред.Од избраното ниво на значајност зависи каде ќе бидат поставени областите (областа) на отфрлање на нултата хипотеза.Притоа, ако се користи пониско ниво на значајност се намалува веројатноста да се отфрли вистинитата нулта хипотеза.Поради тоа се користи p-вредноста која содржи попрецизна информација за силината на отфрлањето на нултата хипотеза.^[1]

Во разгледувањето на проверката на хипотезите истакнавме дека ако е отфрлена нултата хипотеза со користење на проверка со ниво на значајност α, тогаш веројатноста на грешка е позната.Во овој случај или одлуката е точка или сме направиле грешка од прв вид.Но ако не ја отфрлиме нултата хипотеза не ја знаеме веројатноста на грешка.Така имаме силен доказ да поддржиме одредена позиција како нултата и алтернативната хипотеза се избрани така што отфрлањето на нултата хипотеза и прифаќањето на алтернативната хипотеза води до поддршка на нашата одредена позиција.Ова ќе го демонстрираме со следниот пример:

Претпоставете дека индустриските прописи пропишуваат дека ако средната тежина на пакувањето на популацијата е 16,1 унци или помалку за популацијата на пакување со тежина на етикетата од 16 унци, тогаш производителот ќе биде тужен.Тука наша цел е да се добие силен доказ дека средната тежина на пакувањето М е поголема од 16,1 унци.

H_о : M = M_о = 16,1

H₁: M > M_о = 16,1

Со одредување на нашето правило на проверка со ниво на значајност α,знаеме дека отфрлањето на нултата хипотеза обезбедува силен доказ дека средната тежина е поголема од 16,1 унци бидејќи веројатноста за грешка е мала вредност α.Со цел да донесеме соодветна одлука, го користиме фактот дека стандардизираната случајна променлива има стандардна нормална распределба,со средина 0 и варијасна 1, под услов нултата хипотеза да е точна.

Ако α е веројатноста на грешка од прв вид и z е толку големо што P(Z ≤ z)=α, тогаш за да се проверува нултата хипотеза, го користиме правилото на одлучување:

Се отфрла H_o ако ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ - М_о/σ_x > z_α

Следува дека веројатноста на нултата хипотеза, кога таа е точна е нивото на значајност α.

Се отфрла H_o ако ${\displaystyle {\frac {{\bar {x}}-M_{0}}{\mathrm {\sigma _{\bar {x}}} }}}$ > x_c = М_о + z_ασ/√n

Вредноста x_c се нарекува критична вредност за одлуката. Претпоставете дека за овој проблем стандардното отстапување е σ=0,4 и дека обезбедуваме случаен примерок со големина од 25.За проверкаta на едностраната хипотеза со ниво на значајност α= 0,05, вредноста z_α = 1,645 се добива од таблицата за стандардизирана нормална распределба.Во овој случај нашето правило на одлучување е :

Се отфрла H_o ако ${\displaystyle {\frac {{\bar {x}}-M_{0}}{\mathrm {\sigma _{\bar {x}}} }}}$ > z_α

Ако се отфрла нултата хипотеза, тогаш ја прифаќаме алтернативната, дека средната тежина е поголема од 16,1 унци со веројатност на грешка од прв вид од 0,05 или помала.Ова обезбедува силен доказ за поддршка на нашиот заклучок, но неможноста да се отфрли нултата хипотеза не води до заклучок дека или H_o е точна или избраната постапка не била доволно чувствителна за да ја отфрли H_o.

Да застанеме со цел да согледаме што се подразбира под отфрлање на H_o.Во проблемот со кутиии со житарици, хипотезата дека средината на популацијата е 16,1 би била отфрлена со ниво на значајност α= 0,05 ако ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ > 16,232.

Оваа извесност не значи дека ние би имале доказ дека средината на популацијата надминува 16,1 единици.Само со податоците од примерокот, никогаш не можеме да бидеме сигурни за параметарот на популацијата.Напротив, би можеле да заклучиме дека податоците предизвикуваат сомневање во точноста на H_o.Ако H_o беше точна, тогаш гледаме дека набљудуваната вредност на средината на примерокот ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ = 16,3 (на пр. 16,3 > 16,232) би претпоставувала неверојатно набљудување извлечено од нормална распределба со средина 16,1 и стандардно отстапување 0,08.

Навистина, прашуваме колку е веројатно да се набљудува таква екстремна вредност ако нултата хипотеза била всушност, точна?Видовме дека веројатноста на набљудување на средната вредност поголема од 16,232 е 0,05.Оттука, со отфрлањето на H_o, или H_o е погрешна или сме набљудувале неверојатен настан, некојшто би се случил само со веројатност помала од таа што е определена со нивото на значајност.Ова е контекстот во кој податоците на примерокот создават сомнеж за H_o.

Даден ни е случаен примерок од n набљудувања од нормална популација со средина M.Со користењето на примерокот ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ и стандардното отстапување σ, респективно, може да ги користиме следниве проверки со ниво на значајност α.Бидејќи варијансата не е позната мора да користиме проверки засновани на Студентовата t-распределба. Оваа распределба зависи од степените на слобода.Освен тоа, тој се приближува кон нормалната распределба со зголемување на бројот на степени на слобода.

1.За се проверува или H_o

H_o : M = M_o или H_o : M ≤ M_o

против H₁

H₁ : M > M_o

Правило на одлучување:

се отфрла H_o ако ${\displaystyle {\frac {{\bar {x}}-M_{0}}{\mathrm {\sigma _{\bar {x}}} }}}$ < t_n-1;α

или еквивалентно,

се отфрла H_o ако ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ > x_c = M_o + t_n-1;αs√n

2.За се проверува или H_o

H_o : M = M_o или H_o : M ≥ M_o

против H₁

H₁ : M < M_o

Правило на одлучување:

се отфрла H_o ако ${\displaystyle {\frac {{\bar {x}}-M_{0}}{\mathrm {\sigma _{\bar {x}}} }}}$ < -t_n-1;α

или еквивалентно,

се отфрла H_o ако ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ < x_c = M_o - t_n-1;αs√n^[3]

• Алтернативна хипотеза
• Нулта хипотеза
• Двострана проверка
• Критична вредност
• Стандардно отстапување
• Нормална распределба
• Варијанса
• p-вредност

• http://math.tutorvista.com/statistics/hypothesis-testing.html Архивирано на 29 април 2013 г.
• http://www.bmj.com/content/309/6949/248#ref-1
• http://www.investopedia.com/terms/o/one-tailed-test.asp