Лоренцов скалар

Во релативистичката теорија на физиката, Лоренцовиот скалар е израз, формиран од предмети од теоријата, која евалуира на скалар, непроменлив под каква било Лоренцова трансформација. Лоренцовиот скалар е генериран од на пр., скаларен производ на вектори, или од тензорите на теоријата. Додека компонентите на векторите и тензорите се вообичаено променети со Лоренцовите трансформации, Лоренцовиот скалар останува непроменет.

Лоренцовиот скалар не секогаш се смета дека е непроменлив скалар во математичка смисла, но добиената скаларна вредност е непроменлива под било која основна трансформација применета на векторскиот простор, на кој се заснова разгледуваната теорија. Едноставен Лоренцов скалар во Минковскиев простор е растојание во просторот ("должина" од нивната разлика) на два фиксни настани во просторот. Додека "позицијата" -4-вектори на настаните се менуваат помеѓу различните инерцијални рамки, нивното растојание во просторот останува непроменето под соодветната Лоренцова трансформација. Други примери за Лоренцов скалар се "должината" на 4-брзини (види подолу), или Ричиево искривување во точка во просторот од Општата теорија за релативноста,која е контракција на тензорот на Римановата кривина .

Во специјалната теорија за релативноста локацијата на честичка во 4-димензионалниот простор е дадена со

${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$

каде ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$ е положбата во 3-димензионалниот простор на честичката, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ е брзината во 3-димензионалниот простор и ${\displaystyle c}$ е брзината на светлината.

"Должината" на векторот е Лоренцов скалар и е даден со

${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}}$

каде ${\displaystyle \tau }$ е вистинско време мерено со часовник во остатокот од рамката на честичката и Минковскиевата метрика е дадена со

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

Ова е метрика слична на времето.

Често е употребен алтернативниот потпис на Минковскиевата метрика во кој знаците на оние се обратни.

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Ова е метрика слична на просторот.

Во Минковскиевата метрика просторот како интервал ${\displaystyle s}$ е дефиниран како

${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}}$.

Ние ја користиме Минковскиевата метрика слична на просторот и во останатиот дел од поглавјето.

Брзината во просторот е дефинирана како

${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)}$

каде

${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}}$.

Магнитудата на 4-брзина е Лоренцов скалар,

${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,}$.

Оттука, c е Лоренцов скалар.

4-забрзување го дава

${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }}$.

4-забрзување е секогаш нормално на 4-брзина

${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }}$.

Затоа, можеме да го сметаме забрзувањето во просторот како едноставна ротација на 4-брзина. Внатрешниот производ на забрзувањето и брзината е Лоренцов скалар и е нула. Оваа ротација е едноставно израз на конзервација на енергија:

${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot {\mathbf {v} }}$

каде ${\displaystyle E}$ е енергијата на честичката и ${\displaystyle \mathbf {F} }$ е 3-сила на честичката.

4-импулс на честичката е

${\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma {m\mathbf {v} }\right)=\left(\gamma mc,{\mathbf {p} }\right)=\left({E \over c},{\mathbf {p} }\right)}$

каде ${\displaystyle m}$ е останатата маса на честичката, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ е импулс во 3-простор, и

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}$

е енергијата на честичката.

Да се разгледа втората честичка со 4-брзина ${\displaystyle u}$ и 3-брзина ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$. Во остатокот од рамката на втората честичка внатрешниот производ ${\displaystyle u}$ with ${\displaystyle p}$ е пропорционален на енергијата на првата честичка

${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-{E_{1}}}$

каде индексот 1 ја означува првата честичка.

Врската е точна во остатокот од рамката на втората честичка, таа е точна во секоја референтна рамка. ${\displaystyle E_{1}}$, енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка е Лоренцов скалар. Затоа,

${\displaystyle {E_{1}}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}$

во било која инерцијална референтна рамка, каде ${\displaystyle E_{1}}$ сè уште е енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка.

Во остатокот на рамката на честичката, внатрешниот производ на импулсот е

${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,}$.

Затоа, останатата маса (m) е Лоренцов скалар. Врската останува точна независно од рамката во која се пресметува внатрешниот производ. Во многу случаи останатата маса е запишана како ${\displaystyle m_{0}}$ за да се избегне забуна со релативистичката маса, која е ${\displaystyle \gamma m_{0}}$

Забележи го следново

${\displaystyle \left(p_{\mu }u^{\mu }/c\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}$.

Квадратот на магнитудата на 3-импулсот на честичката, мерена во рамките на втората честичка, е Лоренцов скалар.

3-брзина, во рамката на втората честичка, може да се конструира од два Лоренцови скалари.

${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={{\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}c^{4}} \over {E_{1}^{2}}}}$.

Скаларите, исто така, може да се конструираат од тензорите и векторите, од контракцијата на тензорите(како ${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$), или комбинации на контракции на тензори и вектори (како ${\displaystyle g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}$).

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.