Минковскиев дијаграм

Дел од темата
Време-простор
Специјална релативност Општа релативност
Вовед Принцип на еквивалентност Диференцијална геометрија Ајнштајнови равенки за полето Вовед во математиката
Видови Време-простор Минковскиев време-простор Време-просторни дијаграми
Математика Математика на општата релативност Лоренцови преобразби Четири вектор Изведувања Време-просторна топологија Ајнштајнови равенки за полето
Поврзаност со гравитацијата Гравитација Њутнов закон за гравитација Закривен простор-време
п р у

Минковскиев дијаграм познат и како време-просторен дијаграм, — развиен во 1908 година од страна на Херман Минковски со цел да обезбеди приказ на својствата на просторот и времето во специјалната теорија за релативноста. Дијаграмите овозможуваат квантитативни разбирања на соодветните појави како што се временската дилатација и контракцијата на должините без математички равенки.

Поимот Минковскиев дијаграм се користи и во општа и посебна смисла. Во принцип, Минковскиевиот дијаграм е графички приказ на дел од Минковскиевиот простор, каде честопати просторот е намален за една димензија. Овие дводимензионални дијаграми ги прикажуваат светските линии како криви во рамнина кои одговараат на движење по должината на просторните оски. Вертикалната оска обично е временска и мерните единици се преземаат така што светлинскиот конус на настанот се состои од линиите на наклонот плус или минус една линија низ тој настан.^[1]

Посебен вид на Минковскиев дијаграм го прикажува резултатот на Лоренцовите трансформации. Хоризонталата одговара на вообичаената претстава за истовремените настани, за неподвижни набљудувачи во кординатниот почеток. Лоренцовите трансформации ги поврзуваат двата инерцијални појдовни системи, каде набљудувачот ја менува брзината во точката (0,0). Новата временска оска на набљудување формира агол α со претходната временска оска, со α < π/4. По Лоренцовите трансформации новите истовремени настани лежат на права наклонета за агол α во однос на претходната линија на истовременоста. Без оглед на големината на α, линијата t = x ја оформува симетралата.^[2].

За поедноставување на дијаграмите на Минковски, обично само настани универзум на една просторна димензија и една димензија на времето се важни. За разлика од вообичаените дијаграми, далечината ќе биде прикажана на хоризонталната оска, а времето на вертикалната оска. На овој начин на настаните што се случуваат во една димензија на просторот може да се пренесува лесно на хоризонтална линија на дијаграмот. Објекти како црта на дијаграм може да се смета дека се движи од дното до врвот, како што минува времето. На овој начин секој објект, како набљудувач или возило, во дијаграмот следува одредена крива, кој се нарекува сопствена world line.

Секоја точка во дијаграмот претставува одредена позиција во просторот и времето. Таквата позиција се нарекува настан без оглед дали нешто се случува во таа положба. Просторот и времето на мерните единици на оските може, на пример, да се сфати како една од следните парови:

• единици од 30 сантиметри должина nanoseconds, или
• астрономски единициs и интервали од 8 минути и 20 секунди (500 секунди), или
• светлосни години и години.

Црните оски етикетирани x и ct на соседниот дијаграм се координатниот систем на набљудувач која ќе се однесуваат во мирување и кој е поставен за x = 0. Неговиот светка линијата е идентична со оската време. Секое паралелна линија со оваа оска, исто така, нема да кореспондираат на објектот за време на мирување, но во друга позиција. Сината линија, сепак, го опишува објектот кој се движи со постојана брзина v на правото, како што се движи набљудувачот.

Оваа сина линија означена ct "може да се толкува како оската на време за вториот набљудувач. Заедно со оската на патот (lозначен со x, кој е идентичен за двете набљудувачи) го претставува неговиот координатен систем. Двете набљудувачи се согласуваат за локацијата напотеклото нивните координатни системи. Оските за подвижиот набљудувач не се нормални едни на други и скалата на неговата временска оска е на протегање. Да се одредат координатите на одреден настан, две линии, секоја паралелна со една од двете оски, мора да биде изработена така што да поминува низ овој настан и нивните крстосници со оските да се читаат.

Одредувајки ја позицијата и времето на одржување на настанот А како пример во дијаграмот доведува до истиот период за двете набљудувачи, како што се очекуваше. Само за позицијата за различни вредности се добиваат резултати, бидејќи движечкиот набљудувач може да пријде на позицијата на настанот А одt = 0. Општо кажано, сите настани за линија паралелна на оската на патот(x оска) се случуваат истовремено и за набљудувачите. Има само едно универзално време t = t′се случуваат истовремено и за набљудувачите. Има само едно универзално време . Од друга страна, поради две различни временски оски набљудувачите обично мерат различни патни координати за истиот настан. Овој графичка транформација одx и t to x′ и t′ и обратно математички е наречена Galilean transformation.

Алберт Ајнштајн (1905) откри дека описот погоре не е точен,^[3] со Hermann Minkowski (1908) обезбедување на графичко претставување.^[4] SПросторот и времето имаат својства кои доведуваат до различни правила за превод на координатите во случај на движечки набљудувачи. Особено, настани кои се проценува дека ќе се случи истовремено од гледна точка на еден од набљудувачите, се случи во различни времиња и за другите. Во Минковски дијаграм оваа relativity of simultaneity кореспондира со воведување на посебна патека на оски за преселбувачкиот набљудувач. Следејќи го правилото кое е опишано погоре секој набљудувач толкува сите настани на линија паралелно со неговата оска патува истовремено. Редоследот на настаните од аспект на набљудувач може да се илустрира со менувањето графички линија во дијаграмот од дното кон врвот.

v ct наместо t е доделен на оските време, α аголот помеѓу двете оски пат ќе биде идентична со онаа меѓу двете време оски. Ова следи од вториот постулат на специјалната релативност, велејќи дека брзината на светлината е иста за сите набљудувачи, без оглед на нивнато релативно движење (види подолу). α е дадена со

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {v}{c}}=\beta }$.

Соодветниот превод од x и t до x′ и t′ обратно е опишан математички од страна на т.н. Лоренцова трансформација. Без оглед на просторот и времето оските ќе произлезат како трансформација, во Минковски дијаграм тие кореспондираат соconjugate diameters на еден пар hyperbolas. Скали на оските се дадени како што следува: Ако U на единица должина на оските на ct иx rсоодветно, на единица должина на оските од ct′ x′ is:^[5]

${\displaystyle U'=U\cdot {\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}}$.

КТ-оската претставува worldline на часовникот се одмара во S, со U ги претставуваат времетраењата помеѓу два настани кој се случуваат на оваа worldline, исто така, наречена proper time помеѓу овие настани. У по должината на x-оската претставува должината на остатокот или proper length на прачката одмара воS. исто толкување, исто така може да се примени за да се дистанцираат U′ по ct′- и x′-оски за часовници и прачки се одмара во S′.

Историја

На Минкоскиот лист во 1908 имало три дијаграми, прво да се илустрира Лоренцовата трансформација, тогаш поделбата на авионот од страна на светлосен конус, и, конечно, илустрација на worldlines.^[4] Во првиот дијаграм се користи како огранок на единична хипербола ${\displaystyle \scriptstyle t^{2}-x^{2}=1}$ да се покаже на proper time во зависност од брзината, со што се илустрираат време дилатација.Вториот дијаграм покажа конјугирана хипербола за калибрирање на вселената, каде што слична протега остава впечаток на Фицџералдово скусување. Во 1914 Лудвик Зилберштајн^[6] вклучен во дијаграм на "Минковското претставување на Лолернцовата трансформација ".Овој дијаграм вклучени хиперболата единица, нејзиниот спрегнат, и еден пар на conjugate diameters. Од 1960 година верзија на овој поцелосен конфигурација е наведен како Минковскиев дијаграм, и се користи како стандардна илустрација преобразбен агеометрија на специјална релативност Е. Т. Витакер укажа дека принципот на релативност е еднакво на самоволието на она хипербола полупречник е избран за време на Минковскиевиот дијаграм. Во 1912 година, Gilbert N. Lewis и Edwin B. Wilson применуваат методите на synthetic geometry да се развијат својствата на неевклидовиот авион кој има Минковскиеви дијаграми ^[7][8]

Fig. 1: View in the median frame

Fig. 2: Symmetric diagram

Fig. 3: Covariant and contravariant components.

Додека останата рамката има просторни и временски оски под прави агли, подвижните рамка ги подготвуваат оските кои формираат мртов агол. Поради тоа што рамките на кои треба да бидат еднакви, асиметријата може да биде вознемирувачка. Сепак, неколку автори покажаа дека постои референтна рамка меѓу оние за одмор и да се движи каде што нивната симетрија ќе биде очигледна ("просечен рамка").^[9] Во оваа рамка, другите две рамки се движат во спротивна насока со еднаква брзина. Со употреба на таквите координати прави единиците на должина и време исти за двете оски. Ако ${\displaystyle \beta =v/c}$ и ${\displaystyle \scriptstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ }} се дава помеѓу S и S ", тогаш овие изрази се поврзани со вредности во нивните средни рамки ${\displaystyle S_{0}}$ како што следува :^[9][10]

${\displaystyle {\begin{aligned}(1)&&\beta &={\frac {2\beta _{0}}{1+\beta _{0}^{2}}},\\(2)&&\beta _{0}&={\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}.\end{aligned}}}$

На пример, ако ${\displaystyle \beta =0.5}$ помеѓу S и S ", а потоа од страна на (2) tтие се движат во нивната средна рамка ${\displaystyle S_{0}}$ со околу ±0.268c секој во спротивни насоки. Од друга страна, ако ${\displaystyle \beta _{0}=0.5}$ во ${\displaystyle S_{0}}$, а потоа од страна на (1) на релативната брзина помеѓу S и S "во свои рамки остатокот е 0.8c. Изградба на оските на S и S "се врши во согласност со вообичаените методи со употреба на ${\displaystyle \tan \alpha =\beta _{0}}$ во однос на ортогонални оски на медијалниот рамка (Fig. 1).

Сепак, тоа се покажува дека, при изготвувањето таков симетричен дијаграм, возможно е да се изведе односот на дијаграмот дури и без да се спомене средната рамка на ${\displaystyle \beta _{0}}$ во целина. Наместо тоа, на релативната брзина ${\displaystyle \beta =v/c}$ помеѓу S и S 'може директно да се користи во следниве градежништво, обезбедување на истиот резултат:^[11] Ако ${\displaystyle \varphi }$е аголот помеѓу оските на ct′ and ct (или помеѓу x and x′), и ${\displaystyle \theta }$ меѓу оските на x′ и ct′, тоа е дадено:^{[11][12][13][14]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi =\cos \theta &=\beta ,\\\cos \varphi =\sin \theta &=1/\gamma ,\\\tan \varphi =\cot \theta &=\beta \cdot \gamma .\end{aligned}}}$

На пример, ако ${\displaystyle \beta =0.5}$ помеѓу S и S′, тогаш од (2) тие ќе се движат во нивната средна рамка ${\displaystyle S_{0}}$ со околу ±0.268c секој во спротивни насоки. Од друга страна,ако ${\displaystyle \beta _{0}=0.5}$ во ${\displaystyle S_{0}}$, тогаш од (1) на релативната брзина помеѓу S and S′ , во свои рамки остатокот е 0.8c. Изградбата на оски на S and S′ се врши во согласност со вообичаените методи со употреба на ${\displaystyle \tan \alpha =\beta _{0}}$ во однос на ортогонални оски на средната рамка (Fig. 1).

• Anthony French (1968) Special Relativity, pages 82 & 83, New York: W W Norton & Company.
• E.N. Glass (1975) "Lorentz boosts and Minkowski diagrams" American Journal of Physics 43:1013,4.
• N. David Mermin (1968) Space and Time in Special Relativity, Chapter 17 Minkowski diagrams: The Geometry of Spacetime, pages 155–99 McGraw-Hill.
• Rindler, Wolfgang (2001). Relativity: Special, General and Cosmological. Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0.
• W.G.V. Rosser (1964) An Introduction to the Theory of Relativity, page 256, Figure 6.4, London: Butterworths.
• Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler (1963) Spacetime Physics, pages 27 to 38, New York: W. H. Freeman and Company, Second edition (1992).
• Walter, Scott (1999), „The non-Euclidean style of Minkowskian relativity“ (PDF), Во J. Gray (уред.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics, Oxford University Press, стр. 91–127, Архивирано од изворникот (PDF) на 2013-10-16, Посетено на 2015-11-08 (see page 10 of e-link)

Минковскиев дијаграм на Ризницата ^?