Ајнштајнови равенки за полето

На оваа страница е потребен превод на македонски. Оваа страница (или пасус) не е напишана на јазик којшто е македонски. Ако е наменета за читателите од тој јазик, треба да биде преместена на јазичното издание на Википедија на тој јазик. Видете го целосниот список на јазични изданија. Ако страницата (или пасусот) не е преведена на македонски во рок од една седмица, содржината која е на друг јазик ќе биде избришана.

Ајнштајнови равенки за поле (АРП; исто така познати како "Ајнштајнови равенки") се состојат од множество од 10 равенства во општата теорија на релативноста на Алберт Ајнштајн кои го опишуваат основното заемодејство на гравитацијатa како резултат на закривеноста на време-просторот поради масата и енергијата.^[1] Првпат објавени од стрна на Ајнштајн во 1915 година како тензорска равенка,^[2] АРП може да се надоврзат со месната време-просторна закривеност (изразена од Ајнштајновиот тензор) со месната енергија и импулсот во тој време-простор (изразен преку енергетско-импулсниот тензор).^[3]

Слично како и кај електромагнетните полиња кои се одредени користејќи полнеж и Електрична струја преку Максвеловите равенки, АРП се користи да се одреди време-просторот како резултат од присуството на маса-енергија и линеарен момент ,т.е тие го одредуваат метричкиот тенсор на времепросторот за дадена енергија во времепросторот. Врската помеѓу Метричкиот тенсор и Ајнштајновиот тенсор дозволува АРП да биде напишан како збирнелинеарни парцијално диференцирани равенки користејќи ги на овој начин. Решенијата на ЕФЕ се компненти на метричкиот тенсор.

Како и почитувајќи го локалниот енергетски моментум, АРП се подразбира и за Њутновиот закон за гравитација каде гравитациското поле е многу слабо и брзините се многу помали од брзината на светлината.^[4]

Истите решенија за ЕФЕ може да бидат најдени само во упростувања на претпоставки, како симетрија. Специјални класи на идентични решенија се многу често проучувани бидејќи покажуваат многу гравитациски феномени, како на пример вртежни црни дупки и ширењето на вселената. Понатамошн упростувањa се достигнуваa со изедначување на времепросторот како рамен време-простор со мала девиација, водејќи до линеаризирани АРП. Овие равенки се користат за проучување феномени какп гравитациски бранови.

Дел од темата
Време-простор
Специјална релативност Општа релативност
Вовед Принцип на еквивалентност Диференцијална геометрија Ајнштајнови равенки за полето Вовед во математиката
Видови Време-простор Минковскиев време-простор Време-просторни дијаграми
Математика Математика на општата релативност Лоренцови преобразби Четири вектор Изведувања Време-просторна топологија Ајнштајнови равенки за полето
Поврзаност со гравитацијата Гравитација Њутнов закон за гравитација Закривен простор-време
п р у

Ајнштајновите равенки за поле може да бидат запишани во оваа форма:^[1]

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

каде ${\displaystyle R_{\mu \nu }\,}$ е Рицов искривен тенсор, ${\displaystyle R\,}$ е скаларно искривувње, ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ е метрички тенсор, ${\displaystyle \Lambda \,}$ е космолошка константа, ${\displaystyle G\,}$ е Њутнова гравитациска константа, ${\displaystyle c\,}$ е брзината на светлината во вакуум, и ${\displaystyle T_{\mu \nu }\,}$ стрес-енергетски тенсор. ЕФЕ е тенсор равенка важејќи како сет од симетрилни 4x4 тенсори. Секој тенсор има 10 самостојни компоненти. Четирите Бијанки идентитети го намалуваат бројот на независни равенки од 10 на 6, оставајќи го метричниот со 4 Гауж поправање степени на слобода, кој коореспондира со слободата да се одбере координатен систем.

Иако Ајнштајновите равенки за поле првично биле формулирани во контекст на 4 димензионална теорија, некои теоретичари ги истражувале последиците на н димензиите. Равенките кои се надвор од општата релативност сè уште се поврзуваат со Ајнштајновите равенки за поле. Вакуумско поле равенки (овозможени кога T е еднакво на 0) го дефинираат Ајнштајновиот манифолд. Занемарувајќи го лесниот,првичен изглед на равенките,тие се комплицирани. Зададен специфичен придонес од маса и енергија во форма на стрес-енергетски тенсор,ЕФЕ се подразбира да е равенки за метрички тенсор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, како Рицов тенсор и скаларно искривување во зависност од метричноста е комплициран нелинеарен проблем.

Едниот може да го пишува ЕФЕ во компактна форма со дефинирање на Ајнштајновиот тенсор

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },}$

кој е симетричен втор ранк тенсор. ЕФЕ може да биде запишан како:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}$

Во стандардните единици, секој термин од лево има единица од 1 / должина². Со овој избор на Ајнштајновата константа како 8πG / c⁴, тогаш стрес-енергетскиот тензор на десната страна на равенката мора да биде напишан со секоја компонента во единиците на енергетската густина (односно, енергијата по волумен = притисок).

Користејќи геометризирани единици каде G = c = 1, од тука може да се запише како:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda =8\pi T_{\mu \nu }\,.}$

Изразот лево ја претставува кривината на време-просторот како што е одредено од метриката; изразот од десната страна ја претставува содржината на материјата / енергијата во просторот. ЕФЕ потоа може да се толкува како збир на равенки што диктираат како материјата / енергијата ја одредува заобленоста на времето во време-просторот.

Овие равенки, заедно со геодетската равенка, која диктира како слободното паѓање на материјата се движи низ време-просторот, го формираат јадрото на математичката формулација на општата теорија на релативноста.

Горе наведената форма на ЕФЕ е стандардна и воспоставена од Мизнер, Торн и Вилер.^[5] Авторите ги анализирале сите конвенции што постоеле и ги класифицирале според три знаци (S1, S2, S3):

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times (\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma })\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times {8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$

Третиот знак горе е поврзан со изборот на конвенција за Рицовиот тенсор:

${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$

Со овие дефиниции Мизнер, Торн и Вилер се класифицираат самите како ${\displaystyle (+++)\,}$, каде што Вајнберг (1972)^[6] е ${\displaystyle (+--)\,}$, Пебелс (1980) и Ефстатиу (1990) (− + +) , Collins Martin & Squires (1989) се ${\displaystyle (-+-)\,}$.

Автори,вклучувајќи го и Ајнштајн употребувале различен знак за нивната дефиниција за Рицовиот тенсор што резултирало во знакот во константата да има промена на десната страна знакот да биде негативен

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R-g_{\mu \nu }\Lambda =-{8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}$

Знакот за (многу мал) космолошкиот термин би се сменил и во двете верзии,ако +−−− метрично конвенцијата знак се претпочита MTW −+++ метричкот знак настанат тука.

Земајќи го трака со почит кон метричноста на двете страни од ЕФЕ едната добива

${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,}$

каде ${\displaystyle D}$ е времепросторската димензија. Ова може да биде презапишано како:

${\displaystyle -R+{\frac {D\Lambda }{(D/2-1)}}={8\pi G \over c^{4}}{\frac {T}{D/2-1}}\,.}$

Ако едната додаде ${\displaystyle -{1 \over {2}}g_{\mu \nu }\,}$ пати на ЕФЕ, едната ја добива следната еквивалиација "трага-oбратна" форма

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {g_{\mu \nu }\Lambda }{D/2-1}}={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over {D-2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,}$

На пример, во ${\displaystyle D=4}$ димензијата се намалува за

${\displaystyle R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu }\right).\,}$

Свртувајќи ја повторно трагата би ја вратила оригиналната форма на еквиваленцијата. Обратно свртената трага може да биде погодна за некои случаи

Ајнштајн ја модифицирал неговата оригинална равенка за да воведе космолошка константа term ${\displaystyle \Lambda }$ пропорционална со метричноста

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,.}$

Бидејќи ${\displaystyle \Lambda }$ е константа, законот за енергија не е манифестиран со оваа промена.

Космолошка константа како термник првично била објаснета од Ајнштајн за да докаже дека универзумот не се шири. Но,ефортот бил неуспешен поради:

• Универзумот објаснет преку оваа теорија бил нестабилен, и
• обзервацијата од Edwin Hubble докажала дека универзумот се шири.

Значи, Ајнштајн го напуштил Λ, нарекувајќи го „ајголемата грешка некогаш направена“

И покрај мотивите на Ајнштајн за воведување на космолошки константен термин, не постои ништо во спротивност со присуството на таков термин во равенките. Космолошката константа за многу години беше скоро универзално прифатена како 0. Сепак, неодамнешните подобрени астрономски техники открија дека е потребна позитивна вредност на Λ за да се објасни забрзувачкиот универзум.

Ајнштајн мислел на космолошката константа како независен параметар, но нејзиниот поим во равенката на полето, исто така, може алгебарски да се премести на другата страна, напишан како дел од тензорот на тензијата со енергија:

${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}g_{\mu \nu }\,.}$

Резултирајќи вакуумска енергија која е константа и е

${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

Општата релативност е доследна со локалната зачувување на енергијата и динамиката изразена како:

${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }\,=T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}$.

Derivation of local energy-momentum conservation

Contracting the differential Bianchi identity ${\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=\,0}$ with ${\displaystyle g^{\alpha \gamma }}$ gives, using the fact that the metric tensor is covariantly constant, i.e. ${\displaystyle g^{\alpha \beta }{}_{;\gamma }=0}$, ${\displaystyle R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+\,R^{\gamma }{}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+\,R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=\,0}$ The antisymmetry of the Riemann tensor allows the second term in the above expression to be rewritten: ${\displaystyle R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }\,-R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\,=0}$ which is equivalent to ${\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }\,-R_{\beta \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\,=0}$ using the definition of the Ricci tensor. Next, contract again with the metric ${\displaystyle g^{\beta \delta }(R_{\beta \delta ;\varepsilon }\,-R_{\beta \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma })\,=0}$ to get ${\displaystyle R^{\delta }{}_{\delta ;\varepsilon }\,-R^{\delta }{}_{\varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma \delta }{}_{\delta \varepsilon ;\gamma }\,=0}$ The definitions of the Ricci curvature tensor and the scalar curvature then show that ${\displaystyle R_{;\varepsilon }\,-2R^{\gamma }{}_{\varepsilon ;\gamma }\,=0}$ which can be rewritten as ${\displaystyle (R^{\gamma }{}_{\varepsilon }\,-{\frac {1}{2}}g^{\gamma }{}_{\varepsilon }R)_{;\gamma }\,=0}$ A final contraction with ${\displaystyle g^{\varepsilon \delta }}$ gives ${\displaystyle (R^{\gamma \delta }\,-{\frac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R)_{;\gamma }\,=0}$ which by the symmetry of the bracketed term and the definition of the Einstein tensor, gives, after relabelling the indices, ${\displaystyle G^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}$ Using the EFE, this immediately gives, ${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }\,=T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}$

кој ја изразува локалната конзервација на стрес-енергија. Овој закон за зачувување е физички услов. Со неговите равенки на полето, Ајнштајн обезбедил општата релативност да е во согласност со оваа конзерваторска состојба.

Нелинеарноста на ЕФЕ разликува општа релативност од многу други основни физички теории. На пример, Максвеловите равенки на електромагнетизмот се линеарни во електричните и магнетните полиња, а наплаќањата и тековните дистрибуции (т.е. збирот на два раствора исто така е решение); уште еден пример е Шредингеровата равенка на квантната механика која е линеарна во брановата должина.

ЕФЕ се сведува на законот за гравитација на Њутн, користејќи ја приближувањето на слабото поле и апроксимацијата со бавно движење. Всушност, константата G која се појавува во ЕФЕ се определува со овие две приближувања.

Изведување на Њутновиот закон за гравитација

Newtonian gravitation can be written as the theory of a scalar field, ${\displaystyle \Phi \!}$, which is the gravitational potential in joules per kilogram ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi [{\vec {x}},t]=4\pi G\rho [{\vec {x}},t]}$ where ${\displaystyle \rho \!}$ is the mass density. The orbit of a free-falling particle satisfies ${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}[t]=-\nabla \Phi [{\vec {x}}[t],t]\,.}$ In tensor notation, these become ${\displaystyle \Phi _{,ii}=4\pi G\rho \,}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}=-\Phi _{,i}\,.}$ In general relativity, these equations are replaced by the Einstein field equations in the trace-reversed form ${\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}Tg_{\mu \nu }\right)}$ for some constant, K, and the geodesic equation ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{{d\tau }^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$ To see how the latter reduce to the former, we assume that the test particle's velocity is approximately zero ${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)}$ and thus ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$ and that the metric and its derivatives are approximately static and that the squares of deviations from the Minkowski metric are negligible. Applying these simplifying assumptions to the spatial components of the geodesic equation gives ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$ where two factors of ${\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}}$ have been divided out. This will reduce to its Newtonian counterpart, provided ${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={1 \over 2}g^{i\alpha }(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha })\,.}$ Our assumptions force α=i and the time (0) derivatives to be zero. So this simplifies to ${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}(-g_{00,j})\approx -g_{00,i}\,}$ which is satisfied by letting ${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$ Turning to the Einstein equations, we only need the time-time component ${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00}\right)}$ the low speed and static field assumptions imply that ${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} (T_{00},0,0,0)\approx \mathrm {diag} (\rho c^{4},0,0,0)\,.}$ So ${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx {-1 \over c^{2}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$ and thus ${\displaystyle K\left(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{1 \over 2}(-\rho c^{2})(-c^{2})\right)={1 \over 2}K\rho c^{4}\,.}$ From the definition of the Ricci tensor ${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$ Our simplifying assumptions make the squares of Γ disappear together with the time derivatives ${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$ Combining the above equations together ${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00}\right)\approx {1 \over 2}K\rho c^{4}\,}$ which reduces to the Newtonian field equation provided ${\displaystyle {1 \over 2}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}$ which will occur if ${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$

Ако тензорот на енергетскиот импулс ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ е нула во подрачјето што се разгледува, тогаш равенките на полето исто така се нарекуваат равенки на полето во вакуум ${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$ во равенките обратни на полето , вакуум равенките може да се пишуваат како:

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$

Во случај на нула-космолошка константа, равенките се

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{D/2-1}}g_{\mu \nu }\,.}$.

Решенијата за вакуумските равенки се нарекуваат вакуумски решенија. Минковскиот простор наједноставен пример за вакуумско решение. Нетривиални примери вклучуваат решение на Шварцшилд и решение Кер.

Манифестали со тензично исчезнатиот Риччи, ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$,се нарекуваат Рикки-рамни колекции и размери со тензорот на Ричи, пропорционален на метриката како Ајнштајн-манифолдери.

Ако тензорот на енергетскиот импулс ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ е оној на електромагнетно поле во слободен простор, односно ако електромагнетни тензор-тензии

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$

се користи, тогаш Ајнштајнските поле равенки се нарекуваат равенки Ејнштајн-Максвел (со космолошка константа Λ, земени како нула во конвенционалната теорија на релативноста):

${\displaystyle R^{\alpha \beta }-{1 \over 2}Rg^{\alpha \beta }+g^{\alpha \beta }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$

Дополнително, коваријантните Максвелови равенки се применуваат и во слободниот простор:

${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}$

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\!}$

каде што точка-запирка претставува коваријантен дериват, а загради означуваат антисимметризација. Првата равенка тврди дека 4-дивергенцијата на дво-форма F е нула, а втората дека нејзиниот надворешен дериват е нула. Од вторите, следува по Poincaré лемма дека во координата шема е можно да се воведе потенцијал за електромагнетно поле Aα така што

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }\!}$

во кој запирката означува делумен дериват. Ова често се зема како еквивалент на коваријантната Максвелова равенка од која е изведена. Сепак, постојат глобални решенија на равенката која може да нема глобално дефиниран потенцијал.^[7]

Решенијата на равенките на Ајнштајновото поле се метрика на време-просторот. Овие метрики ја опишуваат структурата на времетраењето на времето, вклучувајќи го инерциското движење на предметите во просторот. Бидејќи равенките на полето се нелинеарни, тие не можат секогаш да бидат целосно решени (т.е. без приближување). На пример, не постои познато комплетно решение за временско време со две масивни тела во него (на пример, теоретски модел на систем на двојни ѕвезди). Сепак, во овие случаи обично се прават приближувања. Овие се вообичаено се нарекуваат пост-њутонски приближувања. И покрај тоа, постојат бројни случаи каде што равенките на полето се решени целосно, и тие се нарекуваат точни решенија.

Студијата за точни решенија на равенките на Ајнштајн е една од активностите на космологијата. Тоа води до предвидување на црни дупки и до различни модели на еволуција на универзумот.

Исто така, може да се откријат нови решенија на равенките на Ајнштајн преку методот на ортонормални рамки како што е пионер од Елис и МакКалум. Во овој пристап, равенките за полето на Ајнштајн се сведени на множество на споени, нелинеарни, обични диференцијални равенки. Како што беше дискутирано од страна на Хсу и Вејнврајт, само слични решенија за Ајнштајновите равенки за полето се фиксни точки на добиениот динамичен систем. Новите решенија се откриени користејќи ги овие методи од ЛеБлан и Коли и Хаслам.^[8]

Нелинеарноста на ЕФЕ прави тешко наоѓање на точни решенија. Еден начин за решавање на равенките на поле е да се направи апроксимација, имено, дека далеку од изворот(и) на гравитациската материја, гравитациското поле е многу слабо и време-просторот е приближно оној на Минковскиевиот простор. Тогаш метриката е напишана како збир на Минковскиевата метрика и термин кој ја претставува отстапката на вистинската метрика од Минковскиевата метрика, со термини кои се квадратни во или повисоки сили на отстапувањето се игнорираат. Оваа постапка на линеаризација може да се искористи за да се испитаат појавите на гравитациското зрачење.

Може да се мисли дека ЕФЕ се не-полиноми, бидејќи тие го содржат инверзниот на метричкиот тензор. Сепак, равенките може да бидат поставени така што тие ги содржат само метричкиот тензор, а не обратниот. Прво, детерминанта на метриката во 4 димензии може да биде напишана:

${\displaystyle \det(g)={\frac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,}$

користејќи го симболот Леви-Сивита и инверзната на метриката во 4 димензии може да биде напишана како:

${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }/\det(g)\,.}$

Заменувајќи ја оваа дефиниција на инверзна метрика во равенките, а потоа ги множи обете страни од det (g) сè додека не останат во именителот, резултатите во полиномичките равенки во метричкиот тензор и неговите први и втора деривати. Дејството од кое се изведени равенките, исто така, може да биде запишано во полиномна форма со соодветни редефиниции на полињата.^[9]

See General relativity resources.

• Charles Misner; Kip S Thorne; John Archibald Wheeler (1973), Gravitation, San Francisco: W. H. Freeman, стр. 501ff, ISBN 0-7167-0344-0CS1-одржување: повеќе имиња: список на автори (link)
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-92567-5

Англиските Викикниги нудат повеќе материјал на тема:

General Relativity

Викиуниверзитетот има учебни материјали за General Relativity

• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Einstein equations“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• Caltech Tutorial on Relativity Архивирано на 21 јуни 2011 г. — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
• The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
• Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
• Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

Предлошка:Einstein

п р у Релативност Специјална релативност Позадина Принцип на релативноста Запознавање со специјалната релативност Специјална релативност Основи Релативно движење Појдовен систем Брзина на светлината Максвелови равенки Запис Галилеева релативност Галилееви трансформации Лоренцови трансформации Последици Временско издолжување Релативистичка маса Еднаквост на масата и енергијата Контракција на должината Релативност на едновременоста Релативистичен Доплеров ефект Томасова прецесија Релативистички дискови Време-простор Минковскиев простор Светска линија Време-просторен дијаграм Светлински конус Општа релативност Позадина Запознавање со општата релативност Математика на општата релативноста Општа релативност Основни концепти Специјална релативност Принцип на еквивалентност Светска линија Риманова геометрија Минковскиев дијаграм Појави Проблем на две тела Гравитациски леќи Гравитациски бран Завлекување на инерцијален појдовен систем Геодетски ефект Хоризонт на случувањето Гравитациска сингуларност Црна дупка Равенки Линиска гравитација Пост-Њутнов формализам Ајнштајнови равенки Геодезни равенки Фридманови равенки АДМ Формализам БССН формализам Хамилтон–Јакоби–Ајнштајнова равенка Напредни теории Калуца–Клајнова теорија Квантна гравитација Решенија Шварцшилдова метрика Рајснер–Нордстромова метрика Геделова метрика Керова метрика Кер–Нуманова метрика Каснерова метрика Тауб–НУТ-ов простор Милнов модел Фридман–Леметер–Робертсон–Валкерова метрика пп-бранов време-простор ван Стокумов прав Научници Ајнштајн Лоренц Хилберт Поанкаре Шварцшилд де Ситер Рајснер Нордстром Вејл Едингтон Фридман Милн Цвики Леметр Гедел Вилер Робертсон Бардин Вокер Кер Чандрасекар Елерс Пенроуз Хокинг Тејлор Халс Стокум Тауб Њуман Ју Торн