Плоштина на триаголник

Плоштината на триаголник во Евклидовата геометрија, е мерка за рамнинската површина одредена од три точки и сегментите што ги поврзуваат овие точки. Интересот за површината на триаголникот произлегува од фактот дека секој многуаголник може да се подели на триаголници. Постојат неколку методи за пресметување на оваа плоштина, во зависност од тоа кои податоци за триаголникот се познати, а најпознат е оној со користење на висината на триаголникот h и поврзаната основа b:

${\displaystyle S={\frac {b\times h}{2}}.}$

Друга формула, позната како Херонова формула, овозможува пресметување на плоштината на триаголникот знаејќи ги должините на неговите три страни a, b и c, а со тоа и нивниот полузбир p:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}$

Поедноставно: ${\displaystyle S={\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}/4.}$

Ова може да се изведе од синусната теорема, при што плоштината на триаголникот се добива од аголот и неговите соседни страни. Ако двете страни соседни на темето C на триаголник имаат должини a и b и ако аголот во C има големина γ, тогаш плоштината е дадена со:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$

Ако триаголникот е правоаголен, очигледно е дека неговата плоштина е:

${\displaystyle S={\dfrac {ah}{2}},}$

каде што a е должината на страната различна од хипотенузата, а h е должината на другата страна, која истовремено е висина на триаголникот. Доколку триаголникот не е правоаголен триаголник, формулата останува точна, бидејќи триаголникот се дели на два правоаголни триаголници (како на сликата).

Тргнувајќи од формулата што ја дава плоштината на правоаголник, Евклид докажува од една страна (исказ XXXV од првата книга на Елементите): „Паралелограмите образувани на иста основа и помеѓу исти паралели се еднакви^[1] едни на други“. Од друга страна (исказ XLI): „Ако паралелограм и триаголник имаат иста основа и се наоѓаат помеѓу исти паралели; паралелограмот ќе биде двоен од триаголникот“.

Нека се дадени два паралелограми ABCD и BCFE, двата на иста основа, BC, и помеѓу истите паралели, BC и AF. Со оглед на тоа дека AD е еднаква на BC (бидејќи тие се двете основи на паралелограмот ABCD), а BC е еднаква на EF (бидејќи тие се двете основи на паралелограмот BCFE), AD е еднаква на EF. Сега, постојат само три можности (прикажани на сликата) за позицијата на точката E во однос на D; E може да биде лево од D, во точката D или десно од D. Подолу се разгледани трите случаи:

Случај: 1. Ако E паѓа лево од D, ED е заедничкиот дел на AD и EF, тогаш е можно да се потврди дека AD и EF се еднакви. Но, треба да се забележи дека страните AB и DC се еднакви, бидејќи тие се спротивни страни на паралелограмот ABCD. Исто така, бидејќи точките A, E, D и F се порамнети, аглите BAE и CDF се еднакви. Затоа, триаголниците BAE и CDF се еднакви бидејќи две страни од едната се еднакви на две страни од другата, а аглите што ги образуваат овие две страни се еднакви. Затоа, паралелограмите ABCD и CBEF се едноставно различни распореди на трапезоидот BEDC и триаголникот BAE (или CDF). Q.E.

Случај 2. Ако E паѓа во точката D, на сличен начин како во случајот 1 се открива дека триаголниците BAE и CDF се еднакви, и додека е можно да се добијат паралелограми ABCD и BCFE со додавање на триаголникот BAE (или CDF) на заедничкиот дел BCD, се открива дека паралелограмите ABCD и BCFE се еднакви. Q.E.

Случај 3. Ако E паѓа десно од D, се забележува дека бидејќи отсечките AD и EF се еднакви, со додавање на линијата DE на секоја, се открива дека AE и DF се еднакви. Користејќи аргумент сличен на оние што се користат во случаите 1 и 2, можно е да се докаже дека триаголниците BAE и CDF, а со тоа и трапезоидите BADG и CGEF, се еднакви. Затоа е очигледно дека паралелограмите ABCD и CBEF се добиваат со додавање на трапезоидот BADG (или CGEF) на заедничкиот триаголник BCG. QED

Замената на паралелограм со друг со иста основа и висина, оправдана со ова тврдење, е позната во математиката како смолкнување. Смолкнувањето ќе биде многу важно во доказот за исказот XLI: :

Да го разгледаме паралелограмот ABCD, и нека E е точка на продолжетокот на AD. Сакаме да покажеме дека плоштината на ABCD е двојно поголема од плоштината на BEC. Цртајќи ја дијагоналата AC, гледаме дека плоштината на ABCD е двојно поголема од плоштината на ABC. Сепак, плоштината на триаголникот ABC е еднаква на плоштината на триаголникот BEC, бидејќи тие делат иста основа. Значи, двојно поголемата плоштина на BEC е еднаква на двојно поголемата плоштина на ABC, односно плоштината на ABCD. Покажавме дека ABCD (што е двојно поголем од ABC) е двојно поголем од BEC.

За пресметување на плоштината на триаголник чии страни се a, b и c и полупериметарот ${\displaystyle p={\dfrac {a+b+c}{2}}}$, може да се користи Хероновата формула:

${\displaystyle S={\dfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}$

Плоштината на паралелограмот определен со два вектори ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ е нормата на нивниот векторски производ:

${\displaystyle S_{p}=\left\|{{\overrightarrow {u}}\wedge {\overrightarrow {v}}}\right\|.}$

Плоштината на триаголник може да се пресмета од оваа формула:

${\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}\left\|{{\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}}\right\|.}$

Даден ортонормален координатен систем, површината на триаголникот ABC може да се пресмета од координатите на темињата.

Во рамнина, со дадени координати на A, B и C ${\displaystyle A(x_{A},y_{A})}$, ${\displaystyle B(x_{B},y_{B})}$ И ${\displaystyle C(x_{C},y_{C})}$, тогаш плоштината S е половина од апсолутната вредност на детерминантата:

${\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}&x_{C}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{C}-y_{A}\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})|.}$

Плоштината на триаголникот ABC може да се пресмета и од формулата:

${\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}.}$

Овој метод се обопштува за три димензии. Плоштината на триаголникот ABC каде што ${\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}$, ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}$ и ${\displaystyle C=(x_{C},y_{C},z_{C})}$ се изразува како:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}.}$

• Плоштина на круг