Сличност

Во геометријата, две фигури се слични ако го имаат истиот облик, но (можеби) различни големини. Формално, две фигури се слични ако по некоја рамномерна хомотетија (растегнување, скалирање) на едната фигура, двете фигури се складни.^[1]. Значи покрај крутите трансформации транслација, ротација и рефлексија кои се дозволени при доказ на складност, за сличност може да се користи плус рамномерна хомотетија.

Основна поставка: Ако две геометриски фигури се слични, тогаш соодветните агли се складни (со иста големина), а соодветните страни и дијагонали се еднаквопропорционални, т.е. постои позитивен реален број р така што односот на сите соодветни страни на двете фигури е р е факторот на хомотетијата.^[2]

Забележуваме дека сите отсечки се слични, сите агли се слични и сите кружници се слични така што најчесто поимот сличност не се користи за овие геометриски објекти (за разлика од складност). Од друга страна, две елипси се слични само ако полуоските се еднаквопропорционални.

Сличност како складност со рамномерна хомотетија (скалирање). Во секој момент, сите соодветни агли се складни (со истата големина). (Направена со Геогебра.)

Означување

Симбол за сличност е $\thicksim$ . На пример, $\Delta ABC\sim \Delta DEF$ значи дека триаголникот ABC е сличен со триаголникот DEF. Се забележува дека кај многуаголници, редоследот на темињата кај сличност е важно (види подолу соодветност на темињата).

Во обичен текст се користи стандардниот тастер ~ т.н. тилда (бран). Иако има уникод симбол за сличност потполно исто се прикажува, односно ∼. Тој е уникод бројот 8764. Соодветните хексадецимален број се 223C. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува &sim; или ∼.^[3] За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x.^[4]

Во LaTeX, симболот $\sim$ за сличност се добиваат со командата \sim или \thicksim која е дел од пакетот wasysym.

Сличност и складност

Основна поставка: Две слични геометриски фигури се складни ако и само ако еден пар соодветни страни се складни (еднакво должни).

Доказ: Две фигури се слични ако се пропорционални исти, т.е. внатрешните агли на двете фигури се складни, а соодветните страни се во истиот однос. Доколку еден пар соодветни страни се складни следува дека пропорцијата е 1 за овој пар страни, па автоматски пропорцијата е 1 за сите соодветни страни, односно сите страни се складни и следува складноста на фигурите. Види складност.

Пример: Нека ΔABC∼ΔDEF се слични триаголници. Тогаш триаголниците се складни ако може да се покаже дека кој било од следните искази е вистинит |AB|=|DE| или |BC|=|EF| или |CA|=|FD|. (Еднаквост треба да се докаже само за едниот пар, a автоматски од сличност следува дека другите парови се еднакви.)

Чекори при покажување на сличност на две рамнински фигури

Постапката е слична со таа за покажување на складност.

Соодветност на темињата - Се одредуваат и правилно се означуваат соодветните темиња помеѓу двете фигури. (Исто како чекорот 1 при доказот за складност.)
Транслација - Се црта вектор од едно теме на едната фигура до соодветното теме на другата фигура, а потоа се врши транслација на подвижната фигура за тој вектор. (Исто како чекорот 2 при доказот за складност.)
Ротација - Се ротира подвижната фигура околу преклопеното теме (добиено по транслацијата во претходниот чекор) сè додека една соодветна страна лежи врз друга. (За разлика при доказ на складност, тука по ротацијата најверојатно страните нема да се преклопуваат, но треба да лежат една врз друга.)
Рефлексија - Доколку фигурите не лежат едната над другата, се врши рефлексија на подвижната фигура околу страната од ротацијата.
Хомотетија - Рамномерно се прави хомотетија (скалирање, растегнување) на едната фигура сè додека не се преклопуваат двете фигури.

Доколку не може да се направи кој било од погорните чекори, фигурите не се слични.

Сличност на триаголници

Како и кај складност, има олеснување при доказ на сличност на триаголници.^[5] Види и сличност на триаголници.

Очигледно е од дефиницијата на сличност дека два триаголници се слични ако постои број p таков што односот на соодветните страни е p и соодветните внатрешни агли се исти:

\Delta ABC\sim \Delta DEF

значи дека постои број p таков што односот на соодветните страни е p и

p={\tfrac {|{\overline {AB}}|}{|{\overline {DE}}|}}={\tfrac {|{\overline {BC}}|}{|{\overline {EF}}|}}={\tfrac {|{\overline {CA}}|}{|{\overline {FD}}|}}

и

\angle {ABC}=\angle {DEF}\,,\,\,\angle {BCA}=\angle {EFD}\,,\,\,\angle {CAB}=\angle {FDE}

Меѓутоа овие се и доволни услови, односно:

сССС: Два триаголници се слични ако пар-по-пар, односот на трите страни е ист на двата триаголници.^[6]
сААА: Два триаголници се слични ако пар-по-пар, трите агли се исти (складни) на двата триаголници.^[7]
сСАС: Два триаголници се слични ако односот на два пара на страни е ист, а аголот помеѓу нив е ист (складен) на двата триаголници.^[8]

Сличност на други многуаголници

За други многуаголници не е толку едноставно да се докаже сличноста. Меѓутоа, може да се докаже дека два многуаголници со ист број на страни се слични ако:

Соодветни страни се еднаквопропорционални и соодветни внатрешни агли се складни (со иста големина).
Соодветни страни и соодветни дијагонали се еднаквопропорционални.

На пример: Постојат (безброј многу) ромбови со исти страни, а не само еднаквопропорционални, кои не се слични бидејќи внатрешните агли не им се складни.

Сличност и периметар, плоштина и волумен

Нека F и G се слични геометриски фигури со односот на страните, т.е. пропорцијата еднаква на р.

Односот на периметрите на F и G е исто така р.
Односот на плоштините на F и G е р².
Односот на волумените (зафатнините) на F и G е р³.

Пример: Нека F е правоаголник со страни a=3 cm и b=5 cm, a G нека е правоаголник со страни c=15 cm и d=9 cm.

Страните на правоаголниците се еднаквопропорционални со p=3, т.е. c=15 cm=3·5 cm=p·5 cm=p·b и c=9 cm=3·3 cm=p·3 cm=p·a. Сите агли на F и G се прав агли, така што сите агли се складни (со еднаква големина). Значи правоаголниците F и G се слични.

Периметарот на F e: L_F=2·3 cm+2·5 cm=16 cm, a периметарот на G e: L_G=2·15 cm+2·9 cm=48 cm.

Следува L_G=48 cm=3·16 cm=p·L_F.

Плоштината на F: P_F=3 cm·5 cm=15 cm², a плоштината на G e: P_G=15 cm·9 cm=135 cm².

Следува P_G=135 cm²=(9·15)cm²=(p²)·P_F.

Пример: Нека F е триаголникот со страни 5m, 3m и 4m, a G нека е триаголникот со страни 9m, 12m и 15m.

Страните на двата триаголниците се еднаквопропорционални со p=3 така што според сССС, триаголниците се слични.

Периметарот на F e: L_F=5m+3m+4m=12m, a плоштина на G e: L_G=9m+12m+15m=36m.

Следува L_G=36m=3·12m=p·L_F.

За пресметување на плоштината на триаголник со дадени три страни ја користиме Хероновата формула, каде што полупериметарот е: s=^L⁄₂, а плоштината P=√s(s-a)(s-b)(s-c).

Полупериметрите на F и G се:

s_{F}={\tfrac {1}{2}}L_{F}=6\,m

и

s_{G}={\tfrac {1}{2}}L_{G}=18\,m

Плоштините на F и G се:

P_{F}={\sqrt {6\cdot (6-5)\cdot (6-3)\cdot (6-4)}}\,m^{2}={\sqrt {6\cdot 1\cdot 3\cdot 2}}\,m^{2}={\sqrt {36}}\,m^{2}=6\,m^{2}

и

P_{F}={\sqrt {18\cdot (18-9)\cdot (18-12)\cdot (18-15)}}\,m^{2}={\sqrt {2916}}\,m^{2}=54\,m^{2}

Следува P_G=54m²=9·m²=(p²)·P_F.

Наводи

↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Similar“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 723. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Слични многуаголници“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ „Unicode Entity Codes for Math“ (англиски). 2013. Архивирано од изворникот на 2013-11-27. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Unicode Input“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Слични триаголници“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ „Слични триаголници ССС“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ „Слични триаголници ААА“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ „Слични триаголници САС“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

Поврзани теми

Надворешни врски

Стојановска, Л. (2013). „Сличност“. Архивирано од изворникот на 2013-10-31. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Хомотетија“. Архивирано од изворникот на 2012-02-29. Посетено на 1 септември 2013.
Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Хомотетија (растегнување) на објект од точка за фактор“. Архивирано од изворникот на 2012-02-29. Посетено на 1 септември 2013.