Теорема на Вивијани

Теоремата на Вивијани, именувана по Винченцо Вивијани, наведува дека збирот од најкратките растојанија од која било внатрешна точка до страните на рамностран триаголник е еднаков на должината на висината на триаголникот.^[1] Тоа е теорема која најчесто се користи на разни математички натпревари, испити по математика во средно училиште и има широка применливост за многу проблеми во реалниот свет.

Овој доказ зависи од лесно докажаното тврдење дека плоштината на триаголникот е половина од неговата основа помножена со неговата висина - односно половина од производот на едната страна со висината на таа страна.^[2]

Нека ABC е рамностран триаголник чија висина е h и страна е a.

Нека P е која било точка во триаголникот, а s, t, u се нормалните растојанија на P до страните. Со повлекување линија од P до секое од A, B и C, се образуваат три триаголници PAB, PBC и PCA.

Сега, плоштините на овие триаголници се ${\displaystyle {\frac {u\cdot a}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {s\cdot a}{2}}}$, и ${\displaystyle {\frac {t\cdot a}{2}}}$ . Тие точно го исполнуваат затворениот триаголник, па затоа збирот од овие површини е еднаков на површината на затворениот триаголник. Значи, може да се напише:

${\displaystyle {\frac {u\cdot a}{2}}+{\frac {s\cdot a}{2}}+{\frac {t\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot a}{2}}}$

од каде доаѓа:

${\displaystyle u+s+t=h}$

Q.E.D.

Исто така важи и обратното: Ако збирот на растојанијата од внатрешната точка на триаголникот до страните е независен од местоположбата на точката, триаголникот е рамностран.^[3]

Вивијаниовата теорема значи дека линиите напоредни со страните на рамностран триаголник даваат координати за правење тернарни дијаграми, како што се дијаграмите на запаливост.

Поопшто, тие овозможуваат да се дадат координати на правилен симплекс на ист начин.

Збирот на растојанијата од која било внатрешна точка на паралелограм до страните е независен од местоположбата на точката. Исто така важи и обратното: Ако збирот на растојанијата од точка во внатрешноста на четириаголник до страните е независен од местоположбата на точката, тогаш четириаголникот е паралелограм.^[3]

Резултатот се обопштува на било кои 2n-аголници со напоредник спротивни страни. Бидејќи збирот на растојанијата помеѓу кој било пар спротивни напоредни страни е константен, следува дека збирот на сите парни суми помеѓу паровите напоредни страни е исто така константен. Обратното не е точно во општ случај, бидејќи резултатот важи за рамностран шестоаголник, кој не мора нужно да има напоредни спротивни страни.

Ако многуаголникот е правилен (и рамноаголен и рамностран), збирот на растојанијата до страните од внатрешната точка е независен од местоположбата на точката. Поточно, тоа е еднакво на n пати повеќе од апотемата, каде што n е бројот на страни, а апотемата е растојанието од средиштето до страната.^[3][4] Сепак, обратното не важи; паралелограм што не е квадрат е контрапример.^[3]

Збирот на растојанијата од внатрешната точка до страните на рамноаголен многуаголник не зависи од местоположбата на точката.^[1]

Неопходен и доволен услов за конвексен многуаголник да има константен збир на растојанија од која било внатрешна точка до страните е да постојат три неколинеарни внатрешни точки со еднакви збирови на растојанија.^[1]

Збирот на растојанијата од која било точка во внатрешноста на правилен полиедар до страните е независен од местоположбата на точката. Меѓутоа, обратното не важи, дури ни за тетраедрите.^[3]

• Gueron, Shay; Tessler, Ran (2002). „The Fermat-Steiner problem“. Amer. Math. Monthly. 109: 443–451. doi:10.2307/2695644. JSTOR 2695644.
• Samelson, Hans (2003). „Proof without words: Viviani's theorem with vectors“. Math. Mag. 76: 225. doi:10.2307/3219327. JSTOR 3219327.
• Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). „The converse of Viviani's theorem“. The College Mathematics Journal. 37: 390–391. doi:10.2307/27646392. JSTOR 27646392.
• Kawasaki, Ken-Ichiroh; Yagi, Yoshihiro; Yanagawa, Katsuya (2005). „On Viviani's theorem in three dimensions“. Math. Gaz. 89: 283–287. doi:10.1017/S002555720017785X. JSTOR 3621243.
• Zhou, Li (2012). „Viviani polytopes and Fermat Points“. Coll. Math. J. 43: 309–312. arXiv:1008.1236. CiteSeerX 10.1.1.740.7670. doi:10.4169/college.math.j.43.4.309.

• „Viviani's Theorem“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
• „Viviani's Theorem: What is it?“. at Cut the knot.
• Warendorff, Jay. „Viviani's Theorem“. the Wolfram Demonstrations Project.
• „A variation of Viviani's theorem & some generalizations“. at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.